Prueba de que el producto cruzado no es asociativo sin usar componentes

Question

Necesito demostrar que el producto cruzado no es asociativo sin usar componentes. Entiendo cómo hacerlo con componentes, lo que conduce a un contraejemplo inmediato, pero aparte de eso no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Considere dos vectores perpendiculares distintos de cero $\def\v#1{{\bf#1}}\v a$ y $\v b$. Tenemos $$(\v a \times\v a)\times\v b=\v0\times\v b=\v0\ .$$ Sin embargo $\v a\times\v b$ es perpendicular a $\v a$, y no es el vector cero, así que $$\v a\times(\v a\times \v b)\ne\v 0\ .$$ Por lo tanto $$(\v a \times\v a)\times\v b\ne\v a\times(\v a\times \v b)\ .$$