Convertir vector en matriz diagonal

Question

Dado un vector $[x_1,x_2,x_3, \dots, x_n]^T$, ¿es posible obtener una matriz diagonal,

$\left[\begin{array}{c c c c c} x_1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & x_2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & x_3 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_n\\ \end{array} \right]$

usando operaciones de matriz (como multiplicación y/o adición con matriz de identidad, etc.)? Esto parece trivial, ¡pero no puedo resolverlo!

Necesito hacer esto para la automatización del proceso en Maxima, para que no tenga que escribir manualmente los elementos en diagonal. Gracias.

Answer 1

$$\operatorname{diag} (\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n\mathbf{e}_i'\mathbf{x}\mathbf{e}_i\mathbf{e}_i'$$

Donde $\mathbf{e}_i$ es el i-ésimo vector de base de $\mathbb{R}^n$ y $'$ denota la transposición.

Answer 2

Pensé en esto, y lo mejor que se me ocurre es lo siguiente. Es casi tan rápido como la función estándar matlab diag() en matrices pequeñas, pero no era particularmente riguroso. De todos modos:

$$v = v_i \in \mathbb{R}^n \\ D = diag(v) = D_{ii} \in \mathbb{R}^{n \times n} \\ D = \textbf{I}_n \cdot \left( \textbf{1}_n^T \otimes v \right)$$

En Matlab, esto se puede escribir de la siguiente manera:

>> v = sym('v',[5 1])
D = eye(length(v)) .* kron( ones(length(v),1)',v )
v =
 v1
 v2
 v3
 v4
 v5
D =
[ v1,  0,  0,  0,  0]
[  0, v2,  0,  0,  0]
[  0,  0, v3,  0,  0]
[  0,  0,  0, v4,  0]
[  0,  0,  0,  0, v5]

Answer 3

No puedo replicar el código de @Ronen en Python. En cambio, solo uso el producto externo:

import numpy as np

np.identity(len(x)) * np.outer(np.ones(len(x)), x)

donde * es la multiplicación elemento por elemento