Ley de Grandes Números para distribuciones enteras

Question

Conozco la (s) Ley(es) de Grandes Números, en cuanto a los medios. Sin embargo, intuitivamente, esperaría que no solo la media, sino también las frecuencias relativas observadas (o el histograma, si tenemos una distribución continua) se acercaran al PMF/PDF teórico a medida que el número de ensayos llega al infinito.

1. ¿Está mal mi intuición? ¿Siempre o solo para algunos casos degenerados (por ejemplo, Cauchy)?
2. En caso negativo, ¿existe un nombre especial para esa ley?

Answer 1

Podemos definir una función indicadora que da si una observación está dentro o fuera de un intervalo, que tendrá una distribución de Bernoulli, y para una muestra de múltiples observaciones tenemos una distribución binomial. Luego podemos aplicar el CLT para mostrar que la media converge a la masa de probabilidad del PDF original en el intervalo. El error en términos absolutos converge uniformemente a cero, pero no creo que el error como un porcentaje de la probabilidad esperada hace.