Esta respuesta es una elaboración de lo que ya se ha escrito en los comentarios.
Bajo el supuesto adicional de que $\mu(X)<\infty$ su espacio métrico $(\overline\Sigma,d)$ admite una incrustación isométrica en el espacio métrico $L^1(X,\Sigma,\mu)$ . La incrustación se da explícitamente enviando una clase de equivalencia $[A]\in\overline\Sigma$ a la clase de equivalencia $[1_A]\in L^1(X,\Sigma,\mu)$ que contiene la función indicadora $1_A$ . (Recordemos que los elementos del $L^p$ son clases de equivalencia de funciones medibles que coinciden hasta $\mu$ -conjuntos nulos, y que $1_A$ denota la función que toma el valor $1$ en el plató $A$ y tomando el valor $0$ en su complemento). Esta incrustación está bien definida (es decir, no es multivaluada) ya que las funciones $1_A$ y $1_B$ son iguales en $(A\triangle B)^c$ Por lo tanto, si $d(A,B)=0$ entonces $\mu(A\triangle B)=0$ así que $1_A$ y $1_B$ acordar hasta un $\mu$ -sistema nulo. La incrustación es una isometría ya que (como se indica en los comentarios) $$ \int_X |1_A-1_B|\ d\mu=\int_X 1_{A\triangle B}\ d\mu=\mu(A\triangle B)=d(A,B). $$
(La identidad $|1_A-1_B|=1_{A\triangle B}$ es la clave de todo esto. También muestra que la desigualdad del triángulo para $d(A,B)$ es en realidad un caso especial de la desigualdad triangular habitual para funciones, de la forma $|1_A-1_C|\leq |1_A-1_B|+|1_B-1_C|$ .)
La imagen de esta incrustación puede caracterizarse como el conjunto de clases de equivalencia en $L^1(X,\Sigma,\mu)$ que contienen una función que toma valores en $\{0,1\}$ . Así, el estudio de las propiedades de su espacio métrico equivale al estudio de un subconjunto (relativamente sencillo de describir) del (muy estudiado y famoso) espacio métrico $L^1(X,\Sigma,\mu)$ .
Por cierto, este fenómeno (incrustar un espacio de conjuntos en un espacio de funciones) funciona en muchos entornos diferentes y se formaliza con la noción de clasificador de subobjetos que es el papel que desempeña el conjunto $\{0,1\}$ en el párrafo anterior.
