Función periódica, infinitamente diferenciable y densa en $L^2$

Question

Me he encontrado con una pregunta interesante, que parece tener una solución sencilla.

Considere $E$ como el conjunto de $2\pi$ funciones periódicas, de valor complejo, infinitamente diferenciables s.t. $\forall f\in E$ , $f(0)=0$ y $$\int_{[0,2\pi]} \frac{f(x)}{x}dx = 0$$ . Demostrar que $E$ es denso en $(L^2([0, 2\pi)), \|\cdot\|_2)$ utilizando el hecho de que un subespacio del espacio de Hilbert es denso si $E^\perp = \{0\}$ .

El escenario de este problema me recuerda mucho a su serie Taylor. El hecho de que la función sea $0$ en el origen elimina el primer término de su expansión. Me gustaría utilizar la pista para mostrar las funciones no nulas $g$ daría un producto interno positivo con alguna $f$ Sin embargo, no pude hacerlo con rigor. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Las funciones $$e_n(x) = xe^{2i\pi nx}, \quad x \in [0,2\pi],$$ para $n \geq 1$ están en $E$ . Por lo tanto, si $f \in E^{\perp}$ , entonces para todos los $n \geq 1$ , $$\int_0^{2 \pi} f(x) e_n(x) \: \mathrm{d}x = \int_0^{2 \pi} f(x) x e^{2i\pi nx} \: \mathrm{d}x = 0.$$ Esto significa que la función $x \mapsto x f(x)$ tiene todos sus coeficientes de Fourier, excepto la constante, iguales a $0$ . Esto significa que es una función constante. Por lo tanto, para algunos $c \in \mathbb{C}$ tenemos $f(x) = c/x$ pero como $f \in L^2$ la única opción es que $c = 0$ es decir $f = 0$ .