Computación $K$ - la teoría de los grupos de determinados $C^{\ast}$- álgebras

Question

Estoy tratando de demostrar que el $K$-la teoría de los grupos de la siguiente $C^*$-álgebra $A$ desaparecen:

Deje $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert separable. Ahora, considere el subalgebra de $\mathcal{B}(\mathcal{H}\oplus\mathcal{H})$ dado por las matrices

\begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{pmatrix}

donde $T_{11}, T_{12}$ $T_{21}$ son compactos y $T_{22}$ es arbitrario, pero acotado. Esquemáticamente este es el álgebra

$$A = \begin{pmatrix} \mathcal{K} & \mathcal{K} \\ \mathcal{K} & \mathcal{B} \end{pmatrix} $$

donde $\mathcal{K}$ denota el compacto de los operadores de $\mathcal{H}$.

Como se dice te quiero mostrar $K_0(A) = 0 = K_1(A)$.

Por desgracia, yo no sé realmente qué herramientas utilizar aquí. Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Sugerencias: Considerar el ideal $$I = \begin{pmatrix} \mathcal{K} & \mathcal{K} \\ \mathcal{K} & \mathcal{K} \end{pmatrix}=\mathcal{K}\otimes\mathbb M_2\mathbb C\cong\mathcal{K} $$ en $A$. ¿Qué es $A/I$? Anote los seis plazo secuencia exacta en la K-teoría de la extensión $$ 0\I\a\a a/I\a 0. $$ Enchufe en lo que usted sabe acerca de la K-teoría de la $I$$A/I$. El resultado deseado de la siguiente manera.