Por qué la gavilla ideal de $\operatorname{Spec}k[x]$ generado por $(x)$ es libre pero se desvanece en $0$ ?

Question

Consideremos el esquema afín $\operatorname{Spec}k[x]$ donde $k$ es un campo. Sea $\mathcal{I}$ sea la gavilla ideal de Spec $k[x]$ correspondiente al ideal $(x)$ . Desde $(x)$ es un programa gratuito $k[x]$ -módulo, $\mathcal{I}$ es un programa gratuito $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x]}$ -de gavilla de rango $1$ .

Siento que es extraño porque todas las secciones de $\mathcal{I}$ se desvanecen en $0$ por lo que no parece "gratis". ¿He entendido algo mal?

Answer 1

Esta es una fuente de confusión constante cuando se trata de gavillas localmente libres de rango uno -- son subgavillas de la gavilla (constante, incoherente) de funciones racionales, y puede ocurrir que una sección de una gavilla invertible $\mathcal{L}$ desaparece en un punto cuando se ve como una función racional, pero esto no significa que mapee a $0$ bajo un isomorfismo (local) de $\mathcal{O}_X$ módulos $\mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$ . De hecho en su caso, ese isomorfismo es la división por $x$ .