Varianza de la función de la variable aleatoria - Probabilidad

Question

Tengo un examen de probabilidad esta noche y tengo curiosidad por una respuesta de un examen práctico. ¡Cualquier consejo/ayuda será muy apreciado!

Esto es lo que tengo:

X es una variable aleatoria Y = 4X + 1, es otra variable aleatoria

P(X=1) = 1/2, P(X=2) = 1/4, P(X=4) = 1/4

Hasta ahora he resuelto lo siguiente (Las soluciones se proporcionan, por lo que todas las respuestas que tengo son correctas hasta que llegamos a donde tengo una pregunta).

E(X) = 2, E(X^2) = 5,5, var(X) = 1,5

E(Y) = 9, var(Y) = 24

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 11 debido a la linealidad de la expectativa.

Ahora, donde estoy atascado...

Me piden que encuentre var(X + Y), que es igual a var(X + 4X + 1) = var(5X + 1). La solución proporcionada dice que var(5X + 1) = 25var(X). ¿Puede alguien explicar por qué es así? Sé que la linealidad de la varianza no se aplica en esta situación porque Y depende de X, pero no estoy seguro de cómo podría calcular esta varianza durante un examen.

Answer 1

En general, la varianza de $aX+b$ , donde $a$ y $b$ son constantes, es $a^2\text{Var}(X)$ . Esto es un hecho que se espera que usted sepa. No es difícil de demostrar. Porque por la definición de varianza, tenemos $$\text{Var}(aX+b)=E(((aX+b)-E(aX+b))^2)=E((aX-aE(X))^2)=a^2E((X-E(X))^2)=a^2\text{Var}(X).$$