Tengo algunas dificultades para demostrar por inducción la siguiente afirmación.
$$\sum_{i=0}^n \frac{1}{(i+3)(i+4)} = \frac{n}{4(n+4)}$$
He demostrado que $\sum_{i=0}^n \frac{1}{(i+3)(i+4)} = \frac{n}{4(n+4)}$ se mantiene para $n=1$ (equivale a $\frac{1}{20}$ ) , pero me estoy atascando en el paso de la inducción.
Por lo que sé, tengo que mostrar $$\sum_{i=0}^n \frac{1}{(i+3)(i+4)} = \frac{n}{4(n+4)}$$ implica $$\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{(i+3)(i+4)} = \frac{n+1}{4(n+5)}$$
Para ello creo que debería añadir el número $\frac{1}{(n+4)(n+5)}$ a $\frac{n}{4(n+4)}$ y ver si da $\frac{n+1}{4(n+5)}$ si no me equivoco.
Sin embargo, cuando intento hacerlo me quedo atascado. Lo he hecho:
$$\frac{n}{4(n+4)} +\frac{1}{(n+4)(n+5)} = \frac{n(n+4)(n+5)}{4(n+4)^2(n+5)} + \frac{4(n+4)}{4(n+4)^2(n+5)} = \frac{n(n+4)(n+5)+4(n+4)}{4(n+4)^2(n+5)} = \frac{n(n+5)+4}{4(n+4)(n+5)}$$
Sin embargo, más allá de este punto no sé cómo llegar $\frac{n+1}{4(n+5)}$ Siempre termino en el punto de partida de ese cálculo.
Así que creo que o bien mi planteamiento debe ser erróneo o me falta algún truco de cómo simplificar $$\frac{(n(n+5)+4}{4(n+4)(n+5)}$$
Agradecería mucho cualquier ayuda, ya que es una tarea de una hoja de preparación para el próximo examen y no conozco a nadie, que tenga una solución correcta.
