Pregunta sobre la derivada compleja

Question

Temo que mi pregunta demuestre una profunda falta de comprensión de un tema muy básico, pero aquí está:

Sé que el operador de la derivada $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}}$ sobre funciones complejas se define como $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}:=\frac 1 2(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})}$ y que, si $f$ es una función holomorfa, entonces, para cada $z_0$ en el ámbito de $f$ la derivada compleja $f'(z_0)$ de $f$ en $z_0$ (es decir $\displaystyle{lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}$ ) será igual a $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)}$ .

Mi pregunta es: ¿es posible expresar $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)}$ como límite de un cociente de diferencias o de una derivada direccional? No puedo ver la dirección de la derivada en la expresión $\displaystyle{\frac 1 2(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})}$ ...

Answer 1

No puede ser un cociente de diferencias en una sola dirección. Pero, por ejemplo, podrías decir: $$\eqalign{\dfrac{\partial f}{\partial z}(z_0) &= \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i \dfrac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)\cr &= \lim_{\text{real }h \to 0} \dfrac{f(z_0 + h) -i f(z_0 + ih) + (-1+i) f(z_0)}{2h}}$$