Si $2 |3-x| + 5 = k$ tiene 2 $\mathbb{R}$ soluciones para $x$ ¿Cuáles son los posibles valores de $k$ ?

Question

Tenemos $2 |3-x| + 5 = k$ , donde $k$ es una constante. Siempre que esta ecuación tenga dos soluciones reales para $x$ ¿Cuál es el rango de valores posibles para $k$ ?

Answer 1

$2|3-x|+5$ tiene un mínimo en $x=3$ y es $\text V$ con forma por encima de ella. Por lo tanto, $k>5.$

Answer 2

Su ecuación equivale a $|3-x|=\frac{k-5}2$ que tendrá dos raíces reales si $\frac{k-5}2>0\iff k>5$ .

Answer 3

Tenemos $\displaystyle\frac{k-5}2=|3-x|\ge0\iff k-5\ge0\iff k\ge5$

Si $\displaystyle k=5,|x-3|=0\iff x=3$ de verdad $x$

Así que, $\displaystyle k>5$

Answer 4

Tenemos $\displaystyle\frac{k-5}2=|3-x|\ge0\Rightarrow k-5\ge0\Rightarrow k\ge5$

1. Si $\displaystyle k=5$ tenemos $|x-3|=0\Rightarrow x=3$ de verdad $x$
2. Si $k>5$ tenemos $\displaystyle|x-3|=\frac{k-5}2\Rightarrow-\frac{k-5}2-3=x\vee x=\frac{k-5}2+3$

Dado que ha pedido que tengamos dos raíces (reales), debemos tener $\displaystyle k>5$ .

NB. Su edición que deberíamos tener $k\leq11$ de alguna manera no es algo que se desprenda de la ecuación que nos has dado...