Grupos cíclicos, grupos cocientes

Question

Posible duplicado:
$G$ modulo $N$ es un grupo cíclico cuando $G$ es cíclico

Demostrar que si $H$ es un subgrupo de un grupo cíclico $G$ entonces $G/H$ también debe ser cíclico.

Creo que empiezo diciendo algo así como " $x+h$ es un elemento de $G$ ", pero no estoy seguro de que sea un buen comienzo.

Answer 1

Más concretamente, si $G$ es cíclico y $\varphi:G\to\Gamma$ es un homomorfismo entonces $\varphi(G)$ es un cíclico. En efecto, si $G=\langle g \rangle$ entonces $\varphi(G)=\langle \varphi(g)\rangle$ .

Answer 2

Supongamos que $(G, +)$ es un grupo cíclico. Se puede ver que en el grupo $(G/H, \cdot)$ tenemos

$2g + H = (g + H) \cdot (g + H) = (g + H)^2$

$3g + H = (g + H) \cdot (g + H) \cdot (g + H) = (g + H)^3$

...

$ng + H = (g + H)^n$

Entonces utiliza esto para demostrar que $G/H$ es cíclico.