¿Cómo es $ hf = -\frac{d^2f}{dx^2}$ ¿un operador autoadjunto?

Question

Considere el operador $h$ $$ hf = -\frac{d^2f}{dx^2}$$

en $ L^2(0,1) $ con dominio $$D(h) =\{f, f\in L^2(0,1), f H^2(0,1), f(0) = 0, f(1) = 0\},$$ $H^2(0,1)$ es el espacio de Sobolev. Es $h$ ¿un operador autoadjunto? Determina los valores propios y las funciones propias del operador.

¿Puede alguien darme una luz o al menos algunas indicaciones de cómo puedo responder?

Answer 1

Intenta resolver la ecuación de resolución $$ (h-\lambda)f=g \\ f(0)=0,\; f'(1)=0. $$ Esto puede hacerse mediante soluciones $\varphi,\psi$ de $-w''-\lambda w=0$ que satisfacen las condiciones normalizadas $$ \varphi_{\lambda}(0)=0,\;\; \varphi_{\lambda}'(0)=1 \\ \psi_{\lambda}(1)=1,\;\;\psi_{\lambda}'(1)=0. $$ Estas soluciones son $$ \varphi_{\lambda}(x)=\frac{\sin(\sqrt{\lambda}x)}{\sqrt{\lambda}},\;\; \psi_{\lambda}=\cos(\sqrt{\lambda}(x-1)). $$ ( $\varphi_{0}(x)$ es el caso límite en el que $\lambda=0$ que es $x$ .) El Wronskian de estas soluciones es \begin{align} W(\lambda)&=\varphi_{\lambda}\psi_{\lambda}'-\varphi_{\lambda}'\psi_{\lambda}\\ &= -\sin(\sqrt{\lambda}x)\sin(\sqrt{\lambda}(x-1))-\cos(\sqrt{\lambda}x)\cos(\sqrt{\lambda}(x-1)) \\ &=-\cos(\sqrt{\lambda}) \end{align} La variación de las soluciones de los parámetros para la ecuación de resolvente es $$ R(\lambda)g= \frac{\psi_{\lambda}(x)}{W(\lambda)}\int_0^xg(y)\varphi_{\lambda}(y)dy+\frac{\varphi_{\lambda}(x)}{W(\lambda)}\int_x^1g(y)\psi_{\lambda}(y)dy $$ Se trata de un operador bien definido y acotado en $L^2(0,1)$ para todos $\lambda$ para lo cual $W(\lambda)=-\cos(\sqrt{\lambda})\ne 0$ . Los ceros de $W(\lambda)$ son valores propios de $h$ y estos son $\lambda_n=(n+1/2)^2\pi^2$ para $n=0,1,2,3,\cdots$ con las correspondientes funciones propias $\varphi_{\lambda_n}(x)=C_n\sin((n+1/2)\pi x)$ . Para todos los demás $\lambda$ el resolvente $R(\lambda)$ existe, está dada arriba y está acotada. La existencia del resolvente de $h$ para todos $\lambda\notin\mathbb{R}$ es suficiente para demostrar que el operador simétrico $h$ es autoadjunto. Y el resolvente existe para todo $\lambda\notin \{ \lambda_n : n=0,1,2,3,\cdots \}$ el espectro de $A$ es $$ \sigma(A)=\{ (n+1/2)^2\pi^2 : n\in\mathbb{Z} \}. $$ Los eigespacios son unidimensionales y el eigespacio unidimensional correspondiente a $n=0,1,2,\cdots$ está atravesado por $\varphi_{\lambda_n}$ .