Computar grupos de homotopía de X tales que pi_1(X) tiene un problema de palabras resoluble

Question

El papel

E. H. Brown, Jr., Finite computability of Postnikov complexes, Ann. of Math. (2) 65 (1957), 1-20.

demuestra que si $X$ es un complejo simplicial finito simplemente conectado, entonces existe un algoritmo eficaz para calcular $\pi_k(X)$ para todos $k$ .

Pregunta : Lo que se sabe cuando $X$ no está simplemente conectado?

Por supuesto, esto dependerá de $\pi_1(X)$ por lo que la cuestión más precisa es fijar un grupo finitamente presentable $G$ y preguntar si los grupos de homotopía $\pi_k(X)$ para $k \geq 2$ son computables para un complejo simplicial finito $X$ tal que $\pi_1(X) \cong G$ . Probablemente también deberíamos fijar una presentación para $G$ y también fijar un isomorfismo explícito $\pi_1(X) \stackrel{\cong}{\longrightarrow} G$ Esto evita el hecho de que el problema del isomorfismo no se puede resolver.

En el mejor de los casos, también se podría calcular la acción de $\pi_1(X)$ en los grupos de homotopía superior.

Yo esperaría que la respuesta fuera ``no'' si $G$ es suficientemente terrible; por ejemplo, si $G$ no tiene un problema de palabras solucionable. Sin embargo, parece razonable que si $G$ es lo suficientemente bueno (por ejemplo, tiene una palabra resoluble y tal vez un problema de conjugación) entonces el problema es resoluble.

Answer 1

Estoy seguro de que las hipótesis sobre las propiedades teóricas de decisión de $\pi_1$ no le permitirá computar $\pi_2$ . A continuación, esbozaré una construcción que va en esta dirección. Desgraciadamente, no responde del todo a la pregunta tal y como está planteada, aunque es posible que lo haga con algo más de trabajo. Tal vez haya otra construcción que haga el trabajo.

(Los detalles de lo siguiente--específicamente, cómo asegurarse de que $H_3(H_n)$ es de dimensiones infinitas, me lo explicó Martin Bridson).

Teorema: Existe una secuencia recursiva de presentaciones finitas para los grupos $G_n$ y una secuencia recursiva de subconjuntos finitos $S_n\subseteq G_n$ tal que:

1. el problema de la palabra es uniformemente solucionable en el $G_n$ ;
2. el subgrupo $H_n=\langle S_n\rangle$ es finitamente presentable;
3. el conjunto de índices $n$ tal que $\pi_2$ de un complejo de presentación para $H_n$ se genera finitamente como un $H_n$ -módulo es recursivamente enumerable pero no recursivo.

En particular, aunque el problema de la palabra es uniformemente resoluble en el $H_n$ no existe ningún algoritmo para calcular $\pi_2$ de un complejo de presentación para $H_n$ .

Observaciones:

1. Esto no responde del todo a la pregunta, porque el algoritmo no calcula complejos de presentación para $H_n$ . De hecho, Bridson y yo mostró que esto no se puede hacer en general. Más adelante se habla de esto.
2. Los grupos $G_n$ se pueden hacer muy bonitos, utilizando el trabajo de Haglund y Wise: se pueden hacer $\mathbb{Z}$ -lineal, por ejemplo.

Prueba de boceto: Tome una secuencia de grupos $Q_n$ tal que:

1. el conjunto de $n$ tal que $Q_n\cong 1$ es recursivamente enumerable pero no recursivo;
2. cada $Q_n$ es del tipo $F_3$ (es decir, existen espacios Eilenberg--Mac Lane con 3-skeleta finito); y
3. $H_4(Q_n;\mathbb{Q})$ es de dimensión infinita siempre que $Q_n\ncong 1$ .

Aplicar el Construcción de raspaduras para obtener una secuencia corta y exacta

$1\to K_n\to\Gamma_n\stackrel{q_n}{\to} Q_n\to 1$

con $\Gamma_n$ que satisface la condición de cancelación pequeña C'(1/6) (en particular, $\Gamma_n$ es bidimensional) y $K_n$ generada finitamente. Sea $G_n=\Gamma_n\times\Gamma_n$ y que $H_n$ sea el producto de la fibra

$H_n=\lbrace (\gamma_1,\gamma_2)\mid q_n(\gamma_1)=q_n(\gamma_2)\rbrace$ .

Todo esto puede hacerse de forma algorítmica. El $H_n$ son finitamente presentables por la Teorema 1-2-3 de Baumslag, Bridson, Miller y Short. Queda por demostrar que $\pi_2$ de un complejo de presentación para $H_n$ se genera infinitamente si y sólo si $Q_n\ncong 1$ .

Si $Q_n$ es trivial entonces $H_n= G_n$ que tiene un espacio Eilenberg--Mac Lane finito y cuatridimensional. En particular, los mapas de frontera de las 3 celdas generan $\pi_2$ del esqueleto 2.

Si $Q_n$ no es trivial, entonces $H_4(Q_n)$ es de dimensión infinita y, por un argumento de secuencia espectral según la Proposición 6.2 de este de Bridson--Reid, se deduce que $H_3(H_n)$ también es de dimensión infinita. De ello se desprende que $\pi_2$ de cualquier complejo de presentación para $H_n$ se genera infinitamente como un $H_n$ -módulo. QED

Observaciones finales:

Para responder a la pregunta del título, hay que ser capaz de calcular un complejo de presentación para $H_n$ . Esto, a su vez, requiere las "presentaciones de entrada" para los grupos $Q_n$ para venir equipado $\pi_2$ -generadores. Se trata de una cuestión bastante delicada, peligrosamente cercana a problemas abiertos difíciles, como el problema de la trivialidad de las presentaciones asféricas.

Answer 2

De esta pregunta surgen varias cuestiones.

En primer lugar, ¿qué es lo que realmente se puede computar o calcular explícitamente con los métodos dados por E.H. Brown?

En segundo lugar, también deberíamos intentar calcular $\pi_n, n \geq 2$ como un módulo sobre $\pi_1$ como el ejemplo de $S^n \vee S^1$ espectáculos. Sin embargo, incluso viendo $\pi_2 X$ como $\pi_1(X)$ -sigue dando sólo una pálida sombra de la $2$ -tipo.

En tercer lugar, el énfasis en la computación en el documento de EH Brown es a través del sistema Postnikov, que tiene problemas. Saunders Mac Lane me comentó en 1972 que parecía poco práctico intentar calcular la homotopía $2$ -de una unión, ya que primero habría que calcular $\pi_2$ como un módulo sobre $\pi_1$ y luego describir de alguna manera el $k$ -de la unión en términos de la $k$ -invariantes de las piezas individuales. Cada paso, aparte del cálculo de $\pi_1$ por el teorema de Seifert-van Kampen, parece bastante difícil. Además, es de suponer que se puede especificar un cociclo, pero ¿cómo se especifica una clase de cohomología?

Higgins y yo adoptamos un enfoque diferente en un artículo publicado en la revista Proc. LMS (1978), disponible aquí como [31], y que sigue la línea de J.H.C. Whitehead en su trabajo Combinatorial Homotopy II, y su trabajo con Mac Lane ``On the $3$ -de un complejo" , Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36 (1950) 41--48, que ahora llamamos $2$ -tipo. Describen el $2$ -de un complejo conectado $K$ (con punto base) en términos del módulo cruzado $(\pi_2(K, K^1) \to \pi_1(K^1))$ que escribimos como $\Pi_2(K)$ .

Supongamos ahora que $K$ es la unión de subcomplejos $L,M$ con la intersección $N$ . Nuestra generalización del Teorema de Seifert-van Kampen a la dimensión $2$ implica que el siguiente diagrama:

$$ \matrix{\Pi_2(N)&\to & \Pi_2(M) \cr \downarrow && \downarrow\cr \Pi_2(L) & \to & \Pi_2(K) }$$ es un empuje de módulos cruzados.

De este modo se obtiene una determinación completa de $\Pi_2(K)$ que, utilizando también la noción de módulo libre cruzado, puede traducirse en términos de presentaciones de módulos cruzados. En algunos casos, esto también da lugar a cálculos finitos del pushout.

Obsérvese que este resultado da ``en principio'' una determinación de $$\pi_2(K)= Ker (\pi_2(K,K^1) \to \pi_1(K^1))$$ como $\pi_1(K)$ -pero no es tan obvio cómo dar cálculos explícitos. Por lo tanto, este método es el inverso del método tradicional, que propone calcular primero $\pi_2$ y luego el $2$ -¡Tipo!

Las propiedades de los pares de complejos $(X,X^1)$ para $X=L,M,N$ que se requieren para este empuje son que los espacios individuales estén conectados y no estén vacíos, y que $\pi_1(X^1) \to \pi_1(X)$ es sobreyectiva: entonces decimos que $(X,X^1)$ está {\itamente conectada}. Parte del teorema es que entonces la unión $(K,K^1)$ también está conectado.

Nótese que el resultado involucra en general a grupos no abelianos, y por lo tanto no está disponible a través de las herramientas tradicionales de la topología algebraica; las pruebas actuales involucran alguna forma de $2$ -de los grupos de homotopía.

Estos resultados parecen ser relevantes para el trabajo en la teoría geométrica de grupos. Los detalles completos de los resultados anteriores y sus aplicaciones se dan en la Parte I del libro titulado en parte Topología algebraica no abeliana que también muestra cómo partes de estos métodos se extienden a dimensiones superiores. Los modelos algebraicos de tipo homotópico en dimensiones superiores permiten algunos cálculos explícitos, que implican las llamadas cat $^n$ -grupos, y cruzado $n$ -cubos de grupos, pero no dan fácilmente un asidero a la computabilidad general de los grupos de homotopía.

Answer 3

@HW: En realidad escribí $\pi_2(K)$ ¡! La determinación explícita de este núcleo fue durante mucho tiempo un problema para mí, y un comienzo en una solución (para finito $\pi_1 K$ ) se da en el trabajo con Razak Salleh `Resoluciones cruzadas libres de grupos y presentaciones de módulos de identidades entre relations', LMS J. Comp. and Math. 2 (1999) 28-61. Estos métodos son desarrollados por Graham Ellis para dar un paquete GAP HAP.

La idea es construir inductivamente con una homotopía contratante una cubierta universal de una prospectiva $K(G,1)$ . Se comienza con un árbol en un grafo de Cayley, que da una retracción del 1-esqueleto de una cubierta prospectiva. Una explicación detallada se encuentra en el gran libro ya citado, p. 341ss. Véase también el artículo de Graham en J. Symbolic Comp. 38 (2004) 1077--1118.

También en la página 139 del mismo libro se dan algunos cálculos de algunas $\pi_2$ de conos cartográficos que se obtienen calculando primero el $2$ -como un módulo cruzado (finito) y luego determinar el núcleo, todo ello utilizando GAP.

Answer 4

Haré esta otra respuesta ya que trata de ser explícita en respuesta a los comentarios y preguntas de Henry Wilton.

Ciertamente, la declaración de empuje dada muestra cómo $\Pi_2 K$ se determina por el $\Pi_2$ de $L,M,N$ cuando $K=L \cup M$ , $N= L \cap M$ . Esto es claramente análogo al Teorema de Seifert-van Kampen habitual, y al igual que éste, tiene algunas condiciones de conectividad, como se indica.

Un caso útil es cuando $L^1 = M^1$ y así $ =K^1$ (no necesariamente el $1$ -skeleta). Entonces el teorema implica que $$\Pi_2 K\cong \Pi_2 L \circ \Pi_2 M$$ el coproducto en la categoría de cruzado $\pi_1 K^1$ -módulos. Esto tiene una descripción bastante explícita dada en el documento Topología 23 (1984) 337-345. donde el grupo superior es un grupo factorial de un producto semidirecto de los grupos superiores de las partes. Algunos casos de descripciones explícitas de $\pi_2 K$ se dan allí.

Otro caso útil es cuando $N=N^1, M=M^1$ . Luego el empuje, $\Pi_2K$ se denomina módulo cruzado inducido del módulo cruzado $\Pi_2 L$ por el morfismo de grupos fundamentales $\pi_1 N^1 \to \pi_1 M^1$ . Mis artículos con Chris Wensley tratan de cálculos explícitos de esto, incluyendo el de $\pi_2 K$ . Un resultado es que si todo lo demás es finito, entonces el módulo cruzado inducido es finito. Un ejemplo dado en el artículo en J. Comp. simbólica es tomar el módulo cruzado inducido a partir de la inclusión normal $C_3 \to S_3$ por la inclusión $S_3 \to S_4$ . La respuesta es un módulo cruzado $SL(2,3) \to S_4$ con núcleo $C_2$ . Utilizando espacios clasificatorios se obtiene un resultado sobre un cono de mapeo.

Es decir, calculamos este $\pi_2 K \cong C_2$ calculando el $2$ -como módulo cruzado de grupos finitos no abelianos.

Espero que eso ayude.