¿Función Zeta de Riemann?

Question

La función zeta de Riemann tiene, para $Re(z)>1$ la siguiente integral

$\zeta(z)=\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty dt\frac{t^{z-1}}{e^t-1}$

donde $\Gamma(z)=\int_0^\infty dt t^{z-1}e^{-t}$ es la función gamma de Euler.

Demuestre que para $Re(z)>0$ la función Zeta de Riemann puede expresarse como

$\zeta(z)=\frac{1}{(1-2^{1-z})\Gamma(z)}\int_0^\infty dt\frac{t^{z-1}}{e^t+1}$

Estoy totalmente perdido aquí. No sé cómo puedo derivar esa expresión alternativa para la Función Zeta sólo a partir de $Re(z)>0$ .

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia . Se puede observar que, para $t>0$ , $$ \frac{t^{z-1}}{e^t+1}=\frac2{2^{z-1}}\frac{(2t)^{z-1}}{e^{2t}-1}-\frac{t^{z-1}}{e^t-1} $$ entonces se puede integrar y utilizar la representación integral anterior de la función zeta de Riemann.