Pregunta de Shankar Quantum sobre el pozo cuadrado infinito

Question

Estoy leyendo el libro de mecánica cuántica de Shankar y en la página 159 dice después de resolver los coeficientes del potencial de caja simétrica $A$ y $B$ que porque tenemos $$A=(-1)^{n+1}B$$ para $$\Psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$ que tenemos las soluciones $$\Psi=\sin(\frac{n \pi x}{L})\ \ \ n \ even $$ $$\Psi=\cos(\frac{n \pi x}{L})\ \ \ n \ odd $$ Pero no entiendo cómo obtener estas ecuaciones matemáticamente a partir de nuestro hecho inicial sobre $A$ y $B$ .

Answer 1

Si n=par, $A = -B$ por lo que tiene $\Psi=A[e^{ikx}-e^{-ikx}]$ que no es más que $2Asin(kx)$ donde $k=\frac{n \pi }{L}$ Del mismo modo, para n=impar se tiene $A=B$ y $\Psi=A[e^{ikx}+e^{-ikx}]$ y $2Acos(kx)$ .

edit: Esto se desprende de Fórmula de Euler