Declaración de la pregunta:- Resuelve la siguiente ecuación determinante $$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}=0$$
Mi solución:-
$$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x+13 & x+14 & x+15 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}\tag{$ R_1\rightarrow R_1+R_2+R_3 $}$$ $$(x+13)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}\tag{1}$$ Ahora vamos a resolver las dos matrices obtenidas en el último paso anterior por separado. $$(x+13)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}$$ $$=(x+13)\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & x & 4 \\ -(x+1) & -x & x+8 \\ \end{vmatrix}\hspace{3cm}(C_1\rightarrow C_1-C_3, C_2\rightarrow C_2-C_3)$$ $$=x(x+13)\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ -(x+1) & -1 & x+8 \\ \end{vmatrix}=x(x+13)(x-1)$$ Y la segunda matriz se puede simplificar como $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 6 & x+4 & -4-2x \\ 7 & 8 & x-8 \\ \end{vmatrix}\tag{$ C_3\rightarrow C_3-C_2 $}$$ $$=-1\times(6x-48+28+14x)=-20(x-1)$$ Así, obtenemos $$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}=0\implies x(x+13)(x-1)-20(x-1)=0\\ \implies (x-1)(x^2+13x-20)=0\implies x=1,\dfrac{-13\pm\sqrt{249}}{2}$$
Como se puede ver, mi solución es muy larga y no es mejor que abrir el determinante. Así que si alguien puede proporcionarme una solución mejor, más sencilla y más intuitiva se lo agradeceré mucho.
