Una forma más sencilla de resolver esta ecuación determinante- $2$

Question

Declaración de la pregunta:- Resuelve la siguiente ecuación determinante $$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}=0$$

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Mi solución:-

$$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x+13 & x+14 & x+15 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}\tag{$ R_1\rightarrow R_1+R_2+R_3 $}$$ $$(x+13)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}\tag{1}$$ Ahora vamos a resolver las dos matrices obtenidas en el último paso anterior por separado. $$(x+13)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}$$ $$=(x+13)\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & x & 4 \\ -(x+1) & -x & x+8 \\ \end{vmatrix}\hspace{3cm}(C_1\rightarrow C_1-C_3, C_2\rightarrow C_2-C_3)$$ $$=x(x+13)\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ -(x+1) & -1 & x+8 \\ \end{vmatrix}=x(x+13)(x-1)$$ Y la segunda matriz se puede simplificar como $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 6 & x+4 & -4-2x \\ 7 & 8 & x-8 \\ \end{vmatrix}\tag{$ C_3\rightarrow C_3-C_2 $}$$ $$=-1\times(6x-48+28+14x)=-20(x-1)$$ Así, obtenemos $$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}=0\implies x(x+13)(x-1)-20(x-1)=0\\ \implies (x-1)(x^2+13x-20)=0\implies x=1,\dfrac{-13\pm\sqrt{249}}{2}$$

Como se puede ver, mi solución es muy larga y no es mejor que abrir el determinante. Así que si alguien puede proporcionarme una solución mejor, más sencilla y más intuitiva se lo agradeceré mucho.

Answer 1

Su cálculo es correcto.

Este es un procedimiento diferente en el que utilizamos el regla de Sarrus el determinante es $$x(x+4)(x+8)+56+144-21(x+4)-32x-12(x+8)\\ =x^3+12x^2-33x+20=(x-1)\cdot(x^2+13x-20).$$ Aquí hay que adivinar que $1$ es una raíz del polinomio de tercer grado y luego se divide por $(x-1)$ para obtener el otro factor $x^2+13x-20$ .

Answer 2

Su solución está bien, pero aquí hay una forma más sencilla de resolver este problema:

$$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 6 & x+4 & 4 \\ 7 & 8 & x+8 \\ \end{vmatrix}$$ = $$-\begin{vmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 6 & 4 & 4 \\ 7 & 8 & 8 \\ \end{pmatrix} - x I)\end{vmatrix} = 0$$ donde $I$ es la matriz de identidad.

Se parece a la ecuación del valor propio.

Así que $x$ es el valor propio de la matriz: $$A :=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -6 & -4 & -4 \\ -7 & -8 & -8 \\ \end{pmatrix}$$

Porque $trace(A) = -12$ y $det(A) = -20$ por lo que el polinomio característico de la forma $-x^3 -12 x^2 +B x -20$ . Donde $B$ es un número real.

Cómo encontrar $B$ ?

Dejemos que $x = 2$ en $det(-A-xI)$ entonces $det(-A-xI) = -10 = -76+2B \implies B=33$ .

Así que se convierte en resolver este polinomio: $-x^3 -12 x^2 +33 x -20=0$

EDIT: Otra forma de encontrar B es utilizar $x = 1$ como sustitución, como sugirió Francesco en el comentario. Como la fila se vuelve dependiente entonces el determinante de la matriz se vuelve cero por lo que $-1-12-20+B =0 \implies B = 33$