Un operador lineal siempre tiene un vector cíclico

Question

Intento demostrar que dado un operador lineal $f$ en $\Bbb{K}^2$ , donde $\Bbb{K}$ es un campo, cualquier vector distinto de cero es un vector cíclico para $f$ . Entonces se me pide que muestre que $f$ tiene un vector cíclico o es un múltiplo escalar de $I _2$ .

Esto es lo que hice para la primera parte: Como sabemos $\dim(\Bbb{K}^2)=2$ basta con encontrar un conjunto linealmente independiente con cardinalidad $2$ . Ahora, dejemos que $\mathbf{v}$ sea un vector no nulo que no sea un valor característico de $f$ entonces $f(\mathbf{v})\neq\alpha \mathbf{v}$ . Esto demuestra que $f(\mathbf{v})\notin <\mathbf{v}>$ por lo que $\{\mathbf{v},f(\mathbf{v})\}$ es LI.

No sé qué hacer en la segunda parte, sin embargo supongo que el escalar será el valor propio pero ¿qué pasa si todos los vectores que hacen $f$ son cero o un cero y un vector propio ( Eso no puede ocurrir, ¿verdad?)

Por curiosidad, esto no se mantiene en $\Bbb{K}^n$ ¿verdad?

Answer 1

Si $f$ no tiene un vector cíclico entonces por lo que ya has demostrado sabemos que todo vector distinto de cero es un vector propio. Hay dos casos:

1. Todo vector distinto de cero es un vector propio de la mismo valor propio $\alpha$ . En este caso, demuestre que $T = \alpha I$
2. Hay vectores propios no nulos $v$ y $w$ con valores propios $\alpha$ y $\beta$ , de tal manera que $\alpha \neq \beta$ . En este caso, demuestre que $v + w$ no es un vector propio, contradiciendo su suposición.

P.s. La declaración general para $\mathbb K^n$ es la siguiente. Si $\mathbb K$ es algebraicamente cerrado entonces $T\colon\mathbb K^n \to \mathbb K^n$ tiene un vector cíclico si y sólo si el polinomio mínimo y el polinomio característico de $T$ son iguales.

Existen multitud de mapas cuyos polinomios mínimo y característico no son iguales que no son de la forma $\alpha I$ Así que cuando $n > 2$ la respuesta es no, no es cierto que cada $T$ tiene un vector cíclico o es de la forma $\alpha I$ .