¿Por qué recibo una respuesta errónea al resolver $|x-1|+|x-2|=1$

Question

Estoy resolviendo la ecuación, $$|x-1| + |x-2| = 1$$

Estoy haciendo casos,

$C-1, \, x \in [2, \infty) $

Así que, $ x-1 + x-2 = 1 \Rightarrow x= 2$

$C-2, \, x \in [1, 2) $

$x-1 - x + 2 = 1 \Rightarrow 1 =1 \Rightarrow x\in [1,2) $

$C-3, \, x \in (- \infty, 1)$

$ - x + 1 - x+2 = 1 \Rightarrow x= 1 \notin (-\infty, 1) \Rightarrow x = \phi$ (conjunto nulo)

Tomando el común de los tres conjuntos de soluciones, obtengo $x= \phi$ por el último caso. Pero se supone que la respuesta es $x \in [1,2]$

Pero cuando escribo esta ecuación en la calculadora gráfica, aparece $2$ líneas $x=1$ y $ x= 2$ en lugar de una región entre $[1,2]$

¿Alguien explica esto también?

Answer 1

El caso 1 le dice, que el único $x$ en $[2,\infty)$ que satisface la ecuación es $x=2$ .

El caso 2 te dice que todos los $x$ en $[1,2)$ satisfacen la ecuación.

El caso 3 le dice que no $x$ en $(-\infty,1)$ satisfacen la ecuación.

Así que el unión de esos, $[1,2]$ es el conjunto de todos los $x$ satisfaciendo la ecuación.

En otras palabras: Que $x \in \mathbb{R}$ satisfacen la ecuación. Entonces, o bien C1) $x\in [2,\infty)$ o C2) $x\in [1,2)$ o C3) $x\in (-\infty,1)$ . Usted aborda los tres casos, pero $x$ sólo tiene que cumplir un de los tres casos.

Al parecer, la calculadora gráfica Desmos muestra un gráfico erróneo. Vea otros dos ejemplos. La curva verde está trazada de forma correcta, la roja es obviamente falsa.

Answer 2

Solución alternativa

Por la desigualdad del triángulo, $$|x-1|+|x-2|=|x-1|+|2-x|\geq \big|(x-1)+(2-x)\big|=1\,.$$ La desigualdad se convierte en una igualdad si y sólo si $2-x=0$ o $x-1=\lambda(2-x)$ para algunos $\lambda\geq0$ (que da, por cierto, $x=\frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\in[1,2)$ ). Se deduce inmediatamente que $[1,2]$ es el conjunto de soluciones para $x\in\mathbb{C}$ tal que $|x-1|+|x-2|=1$ .

Answer 3

Tienes toda la razón. Sólo que deberías haber trazado una franja cuyos puntos finales estén en $1,2$ En otras palabras, debe encontrar los puntos de intersección de la función con el siguiente conjunto $$S=\{(x,y)|1\le x\le 2\}$$

Answer 4

Por vía directa hay que distinguir tres casos

• $x<1 \implies |x-1| + |x-2| = 1-x+2-x=1 \implies -2x=-2\implies x=1$

• $1\le x<2 \implies |x-1| + |x-2| = x-1+2-x=1 \implies 1=1$

• $x\ge 2 \implies |x-1| + |x-2| = x-1+x-2=1 \implies 2x=4\implies x=2$

por lo tanto $1\le x\le 2$ .