¿Cómo demostrar que el generador de traslación conmuta con los espinores en el álgebra SUSY?

Question

Estaba leyendo Modern Supersymmetry de John Terning, el libro comienza con el álgebra SUSY y dice

$$ \left[ P_{\mu} , Q_{\alpha} \right] = \left[ P_{\mu} , Q_{\alpha}^{\dagger} \right] = 0 $$

Me pregunto cómo podría demostrar la relación de conmutación anterior dados los siguientes anticonmutadores

\begin{equation} \left\{ Q_{\alpha} , Q_{\beta} \right\} = \left\{ Q_{\dot{\alpha}}^{\dagger} , Q_{\dot{\beta}}^{\dagger} \right\} = 0 , \quad \left\{ Q_{\alpha} , Q_{\dot{\alpha}}^{\dagger} \right\} = 2 \sigma _{\alpha \dot{\alpha}}^{\mu} P_{\mu} \end{equation}

Y $\sigma ^{\mu}$ se define como $\sigma ^{\mu} = \left( 1 , \sigma ^i \right)$ .

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Una forma que he probado es utilizar la identidad de Jacobi $\left[ \left\{ Q_{\alpha} , Q_{\dot{\alpha}}^{\dagger} \right\} , Q_{\alpha} \right] + \left[ \left\{ Q_{\dot{\alpha}}^{\dagger} , Q_{\alpha} \right\} , Q_{\alpha} \right] + \left[ \left\{ Q_{\alpha} , Q_{\alpha} \right\} , Q_{\dot{\alpha}}^{\dagger} \right] = 0$ y por lo tanto encontrar $\sigma _{\alpha \dot{\alpha}}^{\mu} \left[ P_{\mu} , Q_{\alpha} \right] = 0$ . Pero este resultado nos lleva a la siguiente ecuación matricial si volvemos a sustituir las matrices de Pauli

$$ \left( \begin{array}{cc} \left[ P_0 , Q_1 \right] + \left[ P_3 , Q_1 \right] & \left[ P_1 , Q_1 \right] - \mathrm{i} \left[ P_2 , Q_1 \right] \\ \left[ P_1 , Q_2 \right] + \mathrm{i} \left[ P_2 , Q_2 \right] & \left[ P_0 , Q_2 \right] - \left[ P_3 , Q_2 \right] \\ \end{array} \right) = 0 $$

Es evidente que para los términos fuera de la diagonal, debido al imaginario $\mathrm{i}$ es evidente que $\left[ P_1 , Q_1 \right] = \left[ P_1 , Q_2 \right] = \left[ P_2 , Q_1 \right] = \left[ P_2 , Q_2 \right] = 0$ . Sin embargo, no se puede argumentar lo mismo para los términos diagonales.

Answer 1

Se deduce del álgebra SUSY con $[Q_\alpha,~Q^\dagger_{\dot\alpha}]~=~0$ . Dejaré de lado la noción de índice de la matriz del espinor por brevedad. Consideremos entonces el conmutador $$ 2\sigma^\mu[P,~Q]~=~[\{Q,~Q^\dagger\}, Q] $$ $$ =~Q[Q^\dagger,~Q]~+~[Q^\dagger,~Q]Q. $$ Aquí obviamente $[Q,~Q]~=~0$ y utilizamos el conmutador $[Q_\alpha,~Q^\dagger_{\dot\alpha}]~=~0$ .

Answer 2

Prueba de boceto:

1. Podemos transformar el impulso $P_{\mu}\leftrightarrow P_{\alpha\dot{\alpha}}$ utilizando las matrices sigma de Pauli. Entonces $^1$ $$[ Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}]~=~2P_{\alpha\dot{\alpha}}, \qquad [P_{\alpha\dot{\alpha}}, P_{\beta\dot{\beta}}] ~=~0.\tag{1}$$

2. Supondremos que los generadores $P_{\alpha\dot{\alpha}}$ , $Q_{\alpha}$ , $\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$ de traslaciones y supertraslaciones son una base lineal para un super álgebra de Lie (hasta posibles cargos centrales).

3. También tenemos $$[ Q_{\alpha},Q_{\beta}]~=~0, \qquad [\bar{Q}_{\dot{\alpha}},\bar{Q}_{\dot{\beta}}]~=~0,\tag{2}$$ ya que lo único relevante $SL(2,\mathbb{C})$ -(el tensor de Levi-Civita) para el lado derecho de la ecuación (2) tiene la propiedad de simetría errónea propiedad de simetría errónea bajo el intercambio de índices.

4. El único $SL(2,\mathbb{C})$ -La posibilidad covariante es $$[ Q_{\alpha}, P_{\beta\dot{\beta}}]~=~c\epsilon_{\alpha\beta} \bar{Q}_{\dot{\beta}}\tag{3} $$ para alguna constante $c$ . Por conjugación hermitiana esto implica $$[ \bar{Q}_{\dot{\alpha}}, P_{\beta\dot{\beta}}]~\stackrel{(3)}{\propto}~\bar{c}\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} Q_{\beta} \tag{4}$$ para que $$ |c|^2 \epsilon_{\alpha\beta}\epsilon_{\dot{\beta}\dot{\gamma}} Q_{\gamma} ~\stackrel{(3)+(4)}{\propto}~ [[ Q_{\alpha}, P_{\beta\dot{\beta}}], P_{\gamma\dot{\gamma}}] ~\stackrel{\text{Jac.Id.}}{=}~[(\beta\dot{\beta})\leftrightarrow( \gamma\dot{\gamma})].\tag{5}$$ El LHS de la ec. (5) sólo tiene la simetría del RHS de la ec. (5) si la constante $c=0$ desaparece. $\Box$ .

Referencias:

1. F. Quevedo y O. Schlotterer, Supersimetría y dimensiones adicionales Notas de clase, 2008; p. 22. (Sugerencia para el sombrero: knzhou .)

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$^1$ En esta respuesta el corchete $[A,B]~:=~ AB-(-1)^{|A||B|}BA$ denota el supercomutador.