Lógica de primer orden : Predicados

Question

Tengo un pequeño problema con la lógica de primer orden, en particular, la lógica de predicados

Tomemos esta frase como ejemplo:

Each teacher has given a form to each student.

A partir de esta frase, ¿podemos tener una lectura diferente?

Este es mi intento de resolver tal problema, no sabía si esta es la respuesta para tal pregunta:

Every Teacher has given a form to each Student.

(x)Teacher(x)^(y)  Student(y)^(z)Form(z)^Give(x,y,z)

If X is a Student then he has received a form from a teacher

Student(x)(y)  Teacher(y)^(z)Form(z)^Give(x,y,z)

If X is a Teacher then he has gave a from for all his students

Teacher(x)(y)  Student(y)^(z)Form(z)^Give(x,y,z)

If X is a form then a teacher gave it to all student.

Form(x)(y)  Employer(y)^(z)Teacher(z)^Give(x,y,z)

Answer 1

La sentencia:

Cada profesor ha entregado un formulario a cada alumno.

tiene efectivamente algunas lecturas múltiples, pero no todas las que usted propone:

Cada profesor ha entregado un formulario a cada alumno.

(∀x)Profesor(x)^(∀y) Estudiante(y)^(∃z)Forma(z)^Dar(x,y,z)

Yo diría que esta es la lectura "por defecto" de la frase, es decir, la que probablemente se pretende. Sin embargo, tenga en cuenta que debe simbolizarlo como:

$$\forall x (Teacher(x) \to \forall y (Student(y) \to \exists z (Form(z) \land Give(x,y,z))))$$

En otras palabras: se necesita usar $\to$ en lugar de $\land$ en algunos lugares (debido a la $\forall$ ), y es necesario añadir paréntesis para indicar el alcance de los cuantificadores.

Si X es un estudiante, ha recibido un formulario de un profesor

Alumno(x)→(∃y) Profesor(y)^(∃z)Forma(z)^Dar(x,y,z)

Esta no es una buena lectura de la frase en inglés, ya que no especifica que cada El profesor ha dado un formulario.

Si X es un profesor, entonces ha dado una de para todos sus estudiantes

Profesor(x)→(∀y) Alumno(y)^(∃z)Forma(z)^Dar(x,y,z)

Esta declaración requiere $x$ para ser cuantificado, y una vez que se añade el (universal, ya que dice cada ) cuantificador, es por supuesto la misma frase que la primera (por supuesto, también hay que hacer las correcciones que he indicado antes)

Si X es un formulario, entonces un profesor se lo dio a todos los estudiantes.

Forma(x)→(∀y) Empleador(y)^(∃z)Profesor(z)^Dar(x,y,z)

.. No estoy seguro de por qué usas "Empleador" como predicado aquí en lugar de "Estudiante", pero lo más importante es que tu lectura no es una lectura viable de la frase original, ya que esta lectura afirma que todos los formularios se dan a los estudiantes, pero la frase original no hace tal afirmación. Si no se dan todos los formularios a los estudiantes, la frase original puede seguir siendo cierta, siempre que cada estudiante reciba algunos forma.

Una lectura que es una alternativa viable, es interpretar la frase original como que es la misma forma que cada profesor ha dado a cada alumno, que sería:

$$\exists z (Form(z) \land \forall x (Teacher(x) \to \forall y (Student(y) \to Give(x,y,z))))$$

Y una tercera sería una especie de "intermedio" entre la primera y esta última: el formulario que cada profesor entrega a sus alumnos es el mismo para ese profesor, pero distintos profesores pueden acabar dando un formulario diferente:

$$\forall x (Teacher(x) \to \exists z (Form(z) \land \forall y (Student(y) \to Give(x,y,z))))$$