Van Kampen con un complicado mapa adjunto

Question

Me gustaría saber si es posible utilizar el teorema de van Kampen sin saber exactamente cómo es el espacio de intersección.

Así que dado $U$ y $V$ y un mapa de unión, ¿es posible calcular el grupo fundamental de $X=U\cup_{f}V$ sin saber cómo $X$ parece, es decir, ¿cómo se obtienen las relaciones sólo con el mapa adjunto?

Considere el ejemplo: Dados 2 toros sólidos ( $S^1\times D^2$ ) $U$ y $V$ y adjuntando el mapa $f: S^1\times S^1\rightarrow S^1\times S^1$ , $f(z,w)=(z,zw)$ , de tal manera que $X=U\cup_{f}V$ , hallar el grupo fundamental de $X$ . ¿Puedo proceder sin saber qué $X$ ¿se ve así? (De todos modos, hazme saber qué aspecto tiene, ¡gracias!)

Answer 1

La respuesta es sí. Utilizando su ejemplo en el que ambos $U$ y $V$ son ambos toros sólidos. El teorema de van Kampen dice que $\pi_1(X)=\mathbb{Z}/<f(\alpha)>$ donde $\alpha$ la curva meridiana del toro macizo adjunto. En este caso $X$ Este ejemplo se puede considerar como un relleno de Dehn en el exterior del nudo.