Hypoellipticity de la raíz cuadrada de la laplaciano

Question

Se trata de un resultado conocido (a veces llamado el Weyl lema) que el laplaciano en $\mathbb{R}^n$ es hypoelliptic, es decir, si $f$ es una distribución.t. $\triangle(f)$ es suave en un conjunto abierto, de $f$ sí es suave en el mismo conjunto abierto. Para establecer el resultado se observa que:

1) $f \in H^s(\mathbb{R}^n)$ $\triangle{f} \in H^s(\mathbb{R}^n)$ que $f \in H^{s+2}( \mathbb{R}^n)$ ($H$ son ordinarias $L^2$ espacios de Sobolev)

2) el mismo resultado vale si $\mathbb{R}^n$ es sustituido por un arbitrario conjunto abierto acotado $U$. Aquí se puede definir $H^s(U):=${$f:\rho f \in H^s(\mathbb{R}^n) \forall \rho \in C^{\infty}_c(U)$}

3) cada distribución $f$ se encuentra en algunas $H^s(U)$, para algunas de las $s>-\infty$ A continuación, una especie de bootstraping argumento y la incrustación de Sobolev da el resultado.

1) es muy fácil establecer (basta mirar en la transformada de Fourier lado), mientras que la versión local 2) es más difícil y requiere de la "naturaleza" del laplaciano (de hecho de la diferenciación parcial de los operadores), como está codificado por ejemplo, la regla de Leibniz (Reed y Simon tiene una completa prueba).

Ya que en la transformada de Fourier transformar lado $\hat \triangle(f)(\xi) = -|\xi|^2 \hat{f}(\xi)$ uno, naturalmente, puede definir una raíz cuadrada de $-\triangle$$\hat{\Lambda(f)}(\xi) :=|\xi|\hat{f}(\xi)$.

Aquí viene mi pregunta: Es $\Lambda$ hypoelliptic?

El equivalente de 1) por $\Lambda$ es trivialmente cierto, pero 2) parece mucho más difícil debido a $\Lambda$ parece ser "no locales" (los valores de $\Lambda(f)$ sobre un conjunto abierto parecen depender de los valores de $f$ en todas partes).

Answer 1

Sí, la raíz cuadrada de la Laplaciano es una elíptica pseudodifferential operador de orden $1$. En realidad, estrictamente hablando, su símbolo $|\xi|$ no es suave en el origen, pero si inserta una frecuencia de corte de la función, es decir, escribir $|\xi| = \chi(\xi)|\xi| + (1-\chi(\xi))|\xi|$ donde $\chi$ es suave, compacta compatible y es igual a $1$ cerca de $\xi = 0$, luego de tomar la inversa de la transformada de Fourier da la Schwartz núcleo de el operador le interesa; esta descomposición usando $\chi$ muestra que es igual a la suma de un suavizado de operador (es decir, un con $\mathcal C^\infty$ Schwartz kernel) y un clásico elíptica pseudodifferential operador de orden $1$. Este es el procedimiento en $\mathbb R^n$; en un colector de la construcción es la misma pero un poco más elaborado. En cualquier caso, cualquier elíptica pseudodifferential operador tiene el tipo de regularidad de la propiedad que usted está pidiendo, es decir, $\Lambda u = f \in H^s$ implica $u \in H^{s+m}$ donde $m$ es el orden de $\Lambda$. Para más detalles, una buena referencia es Shubin, Pseudodifferential Operadores y Teoría Espectral (Springer). Cualquier operador elíptico es hypoelliptic (pero hay muchos hypoelliptic operadores que no son elíptico-por ejemplo, el calor del operador).

Answer 2

Hay otros (formal)de la raíz cuadrada de la laplacien (Dirac), operador ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_operator.