Distribución inversa de Schwartz para la operación de convolución

Question

Aquí observo $\mathcal{D}'$ el espacio de todas las distribuciones y $\mathcal{S}'$ el espacio de las distribuciones templadas, estoy considerando la siguiente cuestión:

Dejemos que $u \in \mathcal{D}'$ o $\mathcal{S}'$ Quiero conocer las condiciones generales para saber que existe una inversa de $u$ para la operación de convolución, lo que significa una distribución $v$ tal que $u*v$ y $v*u$ se puede definir y: $$u*v = v*u = \delta$$

¿Cuándo existe una solución? ¿Cuándo es única esa solución y podemos describir todas las soluciones cuando no lo es?

¿Cambia el problema para considerar sólo la derecha o la izquierda-inversa de $u$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su pregunta está relacionada con el famoso y notoriamente difícil problema de división . Si $u\in\mathscr{S}'$ y $\hat{u}$ es su transformada de Fourier, se pregunta cuándo es posible definir $\frac{1}{\hat{u}}$ . Consulte el libro de L. Schwartz Teoría de las distribuciones Capítulo V, secciones 4 y 5.

Answer 2

El problema de la división, para $u$ que tiene un soporte compacto, fue resuelta por L. Ehrenpreis en la década de 1950. La ecuación $u*v=\delta$ es resoluble si y sólo si la transformada de Fourier de $u$ disminuye lentamente, lo que significa que una estimación $$\sup_{|\eta|< \log(e+|\xi|)} |\hat u(\xi+\eta)|\geq C(1+|\xi|)^{-N}$$ retenciones. Véase, por ejemplo, el teorema 16.5.22 del volumen II del tratado de Hörmander sobre el análisis de LPDO.