¿Cómo puedo demostrar que $|V| \geq |F|$ ?

Question

Pregunta

$F$ es un campo y $({}\cdot{}, {}+{}, V)$ es un espacio vectorial sobre $F$ . Supongamos que $V \neq \{0\}$ . ¿Cómo puedo demostrar que $|V| \geq |F|$ ?

Intento

Sé que $|V| \geq |F|$ es verdadera si y sólo si existe una función de un solo valor $f: F \to V$ . Pero no sé cómo proceder a partir de aquí (o si esto ayuda a la prueba).

Answer 1

Elija un vector no nulo $\mathbf{v} \in V$ y considerar la incrustación de su campo $F$ en $V$ como múltiplos escalares de la misma: $$\begin{align} \varphi: F &\to V \\ c &\mapsto c\mathbf{v} \end{align}$$

Los axiomas del espacio vectorial garantizan que esto está bien definido (todos esos múltiplos escalares viven de hecho en $V$ ). ¿Por qué la función $\varphi$ ¿es necesariamente inyectiva? Intenta probarlo tú mismo, y haz clic para revelar el spoiler si te quedas atascado.

Supongamos que $\varphi(c_1) = \varphi(c_2) \in V$ Así que $c_1\mathbf{v} = c_2\mathbf{v}$ . Restando y factorizando, obtenemos $(c_1 - c_2)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Pero como $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ Debemos tener $c_1 - c_2 = 0 \in F$ es decir $c_1 = c_2$ .