Borel $\sigma$ -de la álgebra separable $T_{3 \frac 1 2 }$ espacio generado por funciones continuas acotadas

Question

Un espacio topológico $\Omega$ satisface el $T_{3\frac 1 2}$ axioma de separación si para cada $A \subset \Omega$ cerrado, y cada $x \in \Omega \setminus A$ existe una función continua $f : \Omega \to [0,1]$ para lo cual $f(x) = 0$ y $f(y) = 1$ por cada $y \in A$ . Quiero demostrar lo siguiente:

Si $\Omega$ es una pieza separable $T_{3 \frac 1 2 }$ espacio, entonces $\mathcal B(\Omega) = \sigma(C_b(\Omega))$ es decir, el Borel $\sigma$ -es generada por las funciones continuas acotadas.

Obviamente tenemos $\sigma(C_b(\Omega)) \subset \mathcal B(\Omega)$ ya que cada $f \in C_b(\Omega)$ es medible por Borel. A la inversa, basta con demostrar que $\sigma(C_b(\Omega))$ contiene todos los cerrado conjuntos; en particular, quiero demostrar que para cada $A \subset \Omega$ cerrado, hay $f \in C_b(\Omega)$ para lo cual $f^{-1}(\{1\}) = A$ .

Mi estrategia original era construir una secuencia de conjuntos abiertos anidados $(B_n)$ para lo cual tenemos $B_1 \supset \overline B_2 \supset B_2 \supset \overline B_3 \supset B_3 \supset \cdots$ y $A = \mathop{\bigcap}_{n \geq 1} B_n$ ; entonces deja que $f_n : \Omega \to [0,1]$ sea tal que $f_n(y) = 1$ para todos $y \in \overline{B_n}$ y que $f = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} f_n$ que se puede demostrar que es continua (ya que la secuencia de sumas parciales es continua y converge uniformemente a $f$ ). Pero como me señalaron recientemente aquí , tal secuencia de conjuntos abiertos puede no existir.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

No es cierto. Los contraejemplos incluyen espacios como $\Omega = \{0,1\}^{[0,1]}$ un producto de incontables copias de $\{0,1\}$ con la topología del producto. Es Hausdorff compacto, por lo que $T_{3 \frac{1}{2}}$ y es se sabe que es separable . Pero su $\sigma(C_b(\Omega))$ es el $\sigma$ -de conjuntos de Baire que aquí es estrictamente menor que la de Borel $\sigma$ -Álgebra.

Representemos elementos de $\Omega$ como funciones $\omega : [0,1] \to \{0,1\}$ . El hecho es que cualquier conjunto Baire en $\Omega$ sólo puede depender de un número contable de coordenadas y, en particular, no puede ser un singleton. Para precisar esto, para cualquier número contable $A \subset [0,1]$ dejar $\pi_A : \Omega \to \{0,1\}^A$ sea el mapa de restricción $\pi_A(\omega) = \omega|_A$ . Entonces dejemos que $\mathcal{F}$ sea la colección de subconjuntos $E$ de $\Omega$ que son de la forma $\pi_A^{-1}(F)$ para un número contable de $A \subset [0,1]$ y algunos $F \subset \{0,1\}^A$ . Claramente $\Omega, \emptyset \in \mathcal{F}$ y $\mathcal{F}$ es cerrado bajo complementos porque $(\pi_A^{-1}(F))^c = \pi_A^{-1}(F^c)$ . También es cerrado bajo uniones contables: supongamos que $E_1, E_2, \dots \in \mathcal{F}$ para que cada $E_n = \pi_{A_n}^{-1}(F_n)$ para un número contable de $A_n \subset [0,1]$ y algunos $F_n \subset \{0,1\}^{A_n}$ . Sea $A = \bigcup_n A_n$ que también es contable, y dejemos que $\pi_n : \{0,1\}^A \to \{0,1\}^{A_n}$ sea la restricción, de modo que $\pi_{A_n} = \pi_n \circ \pi_A$ . Entonces $$\bigcup_n E_n = \bigcup_n \pi_A^{-1}(\pi_n^{-1}(F_n)) = \pi_A^{-1}\left(\bigcup_n \pi_n^{-1}(F_n)\right).$$ Por lo tanto, $\mathcal{F}$ es un $\sigma$ -Álgebra.

Considere la clase $C_{\mathcal{F}}(\Omega)$ de funciones continuas $f : \Omega \to \mathbb{R}$ que son $\mathcal{F}$ -medible. Esto es claramente un álgebra que contiene las constantes. También separa puntos: para cualquier $x \in [0,1]$ la función $\pi_x(\omega) = \omega(x)$ es continua (por definición de la topología del producto) y $\mathcal{F}$ -medible, pero si $\pi_x(\omega) = \pi_x(\omega')$ para todos $x \in [0,1]$ entonces $\omega = \omega'$ . Por lo tanto, por Stone-Weierstrass, $C_\mathcal{F}(\Omega)$ es uniformemente denso en $C(\Omega)$ . Eso significa que cada $f \in C(\Omega)$ es un límite puntual de $\mathcal{F}$ -funciones medibles y, por lo tanto, es $\mathcal{F}$ -medible, así que de hecho $C(\Omega) = C_\mathcal{F}(\Omega)$ .

Por lo tanto, $\sigma(C(\Omega)) \subset \mathcal{F}$ .

Por otro lado, para cualquier $\omega$ tenemos $\{\omega\} \notin \mathcal{F}$ . Supongamos que $E \in \mathcal{F}$ con $\omega \in E$ . Entonces $E = \pi_A^{-1}(F)$ para un número contable de $A$ y algunos $F \in \{0,1\}^A$ . Desde $A$ es contable, existe $y \in [0,1] \setminus A$ Así pues, dejemos que $$\omega'(x) = \begin{cases} \omega(x), & x \ne y \\ 1 - \omega(x), & x = y \end{cases}$$ Desde $y \notin A$ tenemos $\omega|_A = \omega'|_A$ y por lo tanto $\omega' \in E$ . Por lo tanto, $E$ contiene al menos dos puntos y no puede ser el singleton $\{\omega\}$ .

Esto se discute un poco más en 6.10(i) de la obra de Bogachev Teoría de la medida . Da a Engelking 2.7.12(c) como referencia para el teorema sobre los productos incontables.