Codificación de conjuntos finitos en grupos abelianos

Question

Dejemos que $(G,\cdot, e)$ sea un grupo abeliano y sea $T=Th(G,\cdot, e)$ . Me pregunto si $T$ codifica conjuntos finitos, es decir Sea $U$ sea el modelo de monstruo de T. Dado $X= \{x_{1},\dots,x_{n}\}$ hay algo de $d \in G$ tal que para cualquier automorfismo $\sigma$ , $\sigma(X)=X$ si y sólo si $\sigma(d)=d$ .

Answer 1

No siempre. Por ejemplo, dejemos que $p$ sea primo y que $G$ sea un grupo abeliano de exponente $p$ (para que podamos ver $G$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ ). Sea $v,w\in G$ sean linealmente independientes, y que $V = \text{Span}(v,w)$ , a $2$ -subespacio dimensional de $G$ con base $\{v,w\}$ . Si $d\in G^n$ códigos de la pareja $\{v,w\}$ entonces cada componente $d_i\in \text{dcl}(v,w) = V$ . Pero el intercambio de mapas $v$ y $w$ se extiende a un automorfismo de $G$ que fija el par $\{v,w\}$ y, por tanto, fija cada componente $d_i$ . Así que $d_i$ es un vector $(a,a)$ en $\{v,w\}$ -coordenadas, es decir $d_i = av + aw\in \text{Span}(v+w)$ . Pero $v\notin \text{Span}(v+w)$ por lo que existe un automorfismo $\sigma$ de $G$ que fija $v+w$ y tal que $\sigma(v)\neq v$ y $\sigma(v)\neq w$ . Este automorfismo no fija el par $\{v,w\}$ , pero sí arregla $d$ contradicción.

El argumento anterior era fácil debido a la extrema homogeneidad que proporciona el álgebra lineal. Podría ser que algunos grupos abelianos menos homogéneos consigan codificar conjuntos finitos - no estoy seguro.