Empecemos por contar el número de formas posibles de emparejamiento de los jugadores en la primera ronda. El jugador mejor clasificado podría ser emparejado con cualquiera de los siete jugadores peor clasificados. Eso deja a seis jugadores. El jugador mejor clasificado entre ellos podría ser emparejado con cualquiera de los cinco jugadores peor clasificados que quedan. Quedan cuatro jugadores. El jugador mejor clasificado entre ellos podría ser emparejado con cualquiera de los tres jugadores peor clasificados que quedan. Los dos últimos jugadores deben jugar entre sí. Por lo tanto, hay $$7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1$$ posibles formas de emparejar a los jugadores en la primera ronda.
Para llegar a la final, el cuarto clasificado debe quedar emparejado con uno de los cuatro jugadores peor clasificados en la primera ronda, y luego ser emparejado con otro de esos jugadores en la segunda ronda. Para ello, dos de los otros tres jugadores clasificados por debajo del cuarto deben jugar entre sí en la primera ronda.
Teniendo esto en cuenta, contamos los casos favorables en la primera ronda. El cuarto clasificado debe ser emparejado con uno de los cuatro jugadores de menor rango. Dos de los otros tres jugadores de rango inferior deben jugar entre sí. Esto deja a cuatro jugadores, incluido el mejor clasificado. El jugador mejor clasificado puede quedar emparejado con cualquiera de los tres jugadores restantes de rango inferior. Los dos jugadores restantes deben jugar entre sí. Por lo tanto, el número de formas favorables de emparejar a los jugadores en la primera ronda es $$4 \cdot \binom{3}{2} \cdot 3 \cdot 1$$
Por lo tanto, la probabilidad de un resultado favorable en la primera ronda para el cuarto clasificado es $$\frac{4 \cdot \binom{3}{2} \cdot 3 \cdot 1}{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}$$
Suponiendo que se produzca este escenario favorable, quedan cuatro jugadores, incluyendo el cuarto clasificado, dos jugadores de mayor rango y uno de menor rango. Para llegar a la final, el cuarto clasificado debe empatar con el jugador de rango inferior, lo que ocurre con probabilidad $1/3$ .
Por lo tanto, la probabilidad de que el cuarto clasificado llegue a la final es $$\frac{4 \cdot \binom{3}{2} \cdot 3 \cdot 1}{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{35}$$
¿Por qué su respuesta es incorrecta?
Si entiendo bien lo que estás haciendo, el primer término representa la probabilidad de que el cuarto clasificado juegue contra un jugador de rango inferior en la primera ronda, el segundo término representa la probabilidad de que dos de los otros tres jugadores de rango inferior jueguen entre sí en la primera ronda, y el tercer término representa la probabilidad de que el cuarto clasificado juegue contra el ganador de ese partido en la segunda ronda.
Su primer término es correcto.
Para el segundo término, hay $5 \cdot 3 \cdot 1$ maneras de emparejar a los jugadores que aún no han sido asignados. Hay $\binom{3}{2}$ formas de seleccionar qué dos de los tres jugadores restantes de rango inferior juegan entre sí y tres formas de seleccionar qué jugador de rango superior sorteará el otro jugador de rango inferior. Esto da $$\frac{\binom{3}{2} \cdot 3}{5 \cdot 3 \cdot 1}$$ Sin embargo, parece que querías añadir el caso en el que no se enfrentan dos de los tres jugadores restantes de menor rango al caso en el que sí ocurre. Si no hay dos de los tres jugadores restantes de rango inferior que jueguen entre sí, cada uno debe jugar contra uno de los tres de rango superior, lo que puede ocurrir en $3!$ formas. Eso da $$\binom{3}{2} \cdot 3 + 3! = 5 \cdot 3 \cdot 1$$
En la segunda ronda, quedan cuatro jugadores, incluido el primero. El primer jugador puede ser emparejado con cualquiera de los tres jugadores restantes de menor rango. Los dos jugadores restantes deben jugar entre sí. Por lo tanto, hay $$3 \cdot 1$$ formas de emparejar a los jugadores en la segunda ronda. Si esos jugadores incluyen al cuarto clasificado, a dos jugadores de mayor rango y a un jugador de menor rango (el caso favorable para el cuarto clasificado), la probabilidad de que el cuarto clasificado saque al jugador de menor rango es $$\frac{1}{3 \cdot 1}$$
