Valores propios de la submatriz principal de una matriz hermitiana

Question

Esta pregunta tiene como objetivo crear un " duplicado abstracto " de varias preguntas que pueden reducirse a lo siguiente:

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ Matriz hermitiana y $B$ ser un $r\times r$ submatriz principal de $A$ . ¿Cómo son los valores propios de $A$ y $B$ ¿relacionado?

Aquí hay algunas preguntas en este sitio que pueden considerarse como duplicados de esta pregunta:

• Los valores propios de $MA$ frente a los valores propios de $A$ para la proyección ortogonal $M$
• Relación de los valores propios de una matriz diagonal D y $\mathbf{VDV}^{T}$ donde V es una matriz semiortogonal

Answer 1

Propuesta. Dejemos que $\lambda_k(\cdot)$ denota el $k$ -El menor valor propio de una matriz hermitiana. Entonces $$ \lambda_k(A)\le\lambda_k(B)\le\lambda_{k+n-r}(A),\quad 1\le k\le r. $$

Este es un resultado bien conocido en álgebra lineal. Como la prueba habitual es una aplicación directa de la célebre Principio de minimax de Courant-Fischer No lo repetiremos aquí. Véase, por ejemplo, el teorema 4.3.15 (p.189) de Horn y Johnson, Análisis de la matriz , 1/e, Cambridge University Press, 1985.