Ampliación de las formas holomorfas

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad normal sobre $\mathbb{C}$ y $\pi:\tilde{X}\rightarrow X$ una resolución logarítmica con divisor excepcional (reducido) $E$ . Sea $U$ sea el lugar suave de $X$ y $\omega$ una forma 1 holomorfa en $U$ ¿cuándo es posible ampliar $\omega$ a una forma holomorfa en $\tilde{X}$ con un máximo de polos logarítmicos a lo largo de $E$ ? En otras palabras, ¿cuándo es $\pi_* \Omega^1_\tilde{X}(\log E)$ ¿reflexivo? Además, ¿alguien puede compartir algún ejemplo en el que dicha extensión falle? Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí hay un resultado que es más o menos lo que usted está preguntando:

Teorema (Greb-Kebekus-Kovács-Peternell) Deja $X$ sea una variedad compleja cuasi-proyectiva de dimensión $n$ y que $D$ ser un $\mathbb Q$ -divisor en $X$ tal que el par $(X, D)$ es log canónico. Sea $\pi:\widetilde X\to X$ sea una resolución de registro con $\pi$ -conjunto excepcional $E$ y $\widetilde D :=$ mayor divisor reducido contenido en $\mathrm{supp}\ \pi^{−1}$ (no klt locus), donde el locus no klt es el subconjunto cerrado más pequeño $W\subset X$ tal que $(X\setminus W, D\setminus W)$ es klt. Entonces las gavillas $\pi^*\Omega_ X ^p(\log \widetilde D)$ son reflexivos, pues todo $p\leq n$ .

Esto se demuestra en este documento . Una versión más débil se demostró en este uno.

Para los ejemplos en los que esto falla, véase el apartado 6.3 de la más antiguo y 3.B, especialmente 3.2 de la más nuevo uno. Para un ejemplo en el que una extensión como ésta falla para los tensores simétricos, véase 3.1.3 del antiguo papel.

Para $1$ -formas, como en su pregunta hay un resultado más fuerte en este papel:

Teorema (Graf-Kovács) Deja $(X, D)$ sea un par canónico lógico complejo, y sea $\pi\!: \widetilde X \to X$ sea una resolución logarítmica de $(X, D)$ . Entonces la gavilla $\pi_* \Omega_{\widetilde X}^1(\log \widetilde D)$ es reflexivo, donde $\widetilde D$ es cualquier divisor reducido tal que $$\mathrm{Exc}(\pi) \wedge \pi^{-1}(\lfloor D\rfloor) \subseteq \mathrm{supp} \widetilde D \subseteq \pi^{-1}(\lfloor D\rfloor).$$

También hay un ejemplo en el apartado 7.4 del último mencionado mostrando que esta afirmación más fuerte falla para $p>1$ .