¿Tiene que ser el espacio de Hilbert del universo infinitamente dimensional para que tenga sentido la mecánica cuántica? De lo contrario, la decoherencia nunca puede ser exacta. ¿La interpretación de la mecánica cuántica requiere una decoherencia exacta y observadores perfectos del tipo que sólo puede surgir de los sectores de superposición exactos en el límite futuro asintótico?
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Giacomo Verticale
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Con un espacio de Hilbert de dimensiones finitas, se pierde todo el aparato de la QM práctica. Queda muy poco: no hay espectros continuos, ni teoría de la dispersión, ni matriz S, ni secciones transversales. No hay ecuación de Dirac, ni teoría de la relatividad, ni relación entre leyes de simetría y conservación, ni campos cuánticos. Casi todos los logros de la física moderna se arruinarían.
Ya el espacio de Hilbert de un solo modo oscilante es de dimensiones infinitas, y el universo contiene billones de ellos. Afortunadamente, billones por infinito sigue siendo infinito, pero...
Debido a los sectores de superselección, el espacio de Hilbert de la QED ya es no separable (es decir, tiene una base incontable). El espacio de Hilbert físico de una teoría cuántica de campos es la integral directa de los espacios de Hilbert correspondientes a los diferentes sectores de superselección. La integral directa está matemáticamente bien definida, http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_integral y da un espacio no separable una vez que la integral es sobre un continuo.
En QED es (al menos) el continuo de direcciones en el espacio 3. Se necesita este espacio no separable para definir las transformaciones de Lorentz de los estados cargados, ya que los estados cargados que se mueven en diferentes direcciones están en diferentes sectores de superselección. Por tanto, la dimensión del espacio de Hilbert del universo debe ser al menos la cardinalidad del continuo.
Ahora la QED describe el universo ignorando la gravitación y las fuerzas débil y fuerte. Desgraciadamente, se sabe muy poco sobre el espacio de Hilbert de las teorías gauge no abelianas y de la gravedad cuántica, por lo que no está tan claro qué cardinalidad tendrá el espacio de Hilbert del universo una vez que sepamos si el universo está descrito por una.
Por otra parte, la interpretación de la mecánica cuántica no puede depender de modelos exactos, ya que nuestros modelos del mundo real nunca son réplicas exactas de éste.
Josh
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El universo tiene probablemente un espacio de Hilbert de dimensiones infinitas. Sin embargo, las dimensiones finitas son suficientes para "dar sentido" a la mecánica cuántica. O, al menos, las dimensiones finitas son suficientes para intuir y exponer las dificultades filosóficas de las distintas interpretaciones de la mecánica cuántica. Un gato vive en un espacio de Hilbert de muy alta dimensión (o infinito), pero la esencia de la paradoja del gato de Schrodinger puede captarse con sólo considerar que es un sistema de dos estados.
Y las dimensiones finitas son suficientes para la decoherencia perfecta. Un ejemplo es el $|+> \otimes |0>$ estado alimentado en una puerta controlada-no en el contexto de la computación cuántica. De hecho, ese sencillo circuito es un modelo bastante bueno para entender el papel de los observadores (el segundo qubit "observa" o copia el estado del primer qubit, provocando así la decoherencia). Las dimensiones finitas son mucho más fáciles de pensar. Por supuesto, es posible que no quieras pensar en ti como observador por ser un qubit enredado con el objeto que estabas midiendo, pero eso es una lata de gusanos que los filósofos probablemente seguirán resolviendo durante mucho tiempo.
