Me interesa saber si existe una forma estándar y sistemática de determinar los puntos singulares de las EDO no lineales de segundo grado.
En particular, estoy interesado en determinar en qué momento esta ecuación autónoma estallará, sin tener que resolver realmente la ecuación: $$ x''(t)=\frac{(x'(t))^2}{3}+e^{x(t)}\quad;\quad x(0)=0,\quad x'(0)=0~~.\tag{1}$$ La ecuación (1) se puede resolver mediante sustituciones muy inteligentes (véase aquí, en eqworld ), pero me interesa más la teoría y los procedimientos más flexibles, o los teoremas útiles.
Sé que la ecuación (1) explotará, porque la solución de la ecuación relacionada $$\chi''=e^\chi\quad;\quad \chi(0)=0,\quad \chi'(0)=0.\tag{2}$$ se separa en $t=\pi/\sqrt{2}$ . El lado derecho de la ecuación (1) crece aún más rápido que (1), por lo que debería estallar en $t<\pi/\sqrt{2}$ también, como indica la exploración numérica. Podemos demostrar que la ecuación (2) estalla observando que $$ (\chi')^2=2(e^\chi-1).$$ A continuación, calculamos la integral $$\int_0^\infty \frac{dz}{\sqrt{2(e^z-1)}}=\frac{\pi}{\sqrt 2}~~,$$ de donde podemos deducir que la solución de la Ec. (2) estalla en $\pi/\sqrt{2}$ sin tener que resolver (2). ¿Podemos adaptar algo así a un segundo orden?
Ni que decir tiene que cualquier ayuda, comentario, pregunta o reflexión será muy apreciada.
