Demostrando que $F(x)=\int_{a}^{x}f(x,y)dy$ es continuamente diferenciable

Question

Sé que $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ es continua, $f$ es diferenciable en $x$ con $D_{1}f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ continua y lo sé: $F(x)=\int_{a}^{x}f(x,y)dy, x\in \mathbb{R}$ .

Ahora quiero demostrar que $F$ es continuamente diferenciable (por lo que $F$ es diferenciable y que $F'(x)$ es continua) también tengo que demostrar que: $$F'(x)=f(x,x)+\int_{a}^{x}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy, x \in \mathbb{R}$$ .
Sé que existe una $G$ tal que: $\int_{a}^{x}f(x,y)dy=G(x)-G(a)$ con $G'(x)=f(x,y)$ y que $\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,y)dy=\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy$ Es lo más lejos que he llegado con este problema, ¿alguien puede ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Se necesita la regla de la cadena para 2 dimensiones (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#Higher_dimensions ). Esto es lo que quiero decir: Definir $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ por $$g(x)=(x,x)$$ y $h:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ por $$h(x,y)=\int_a^x f(y,z)\, dz.$$ Ahora bien, tenga en cuenta que $$F(x)=h(g(x))$$ y utilizar la regla de la cadena.