La existencia de (suave) modelos de

Question

Hola a todos,

sea X una variedad sobre un campo k, S integral del esquema de que el campo de función K de S está contenido en k. Un S-esquema X es llamado modelo de X/k si X x_S k = X, es decir, si el genérico de fibra de X sobre S, es isomorfo a X.

• Hay condiciones generales en X, S, k, tales que X existe?
• Si X es suave y proyectiva, ¿cuáles son las condiciones, de tal manera que no es un buen modelo de X?
• Cualquier buen referencias que van en los modelos y la reducción en general, y no sólo en el caso de las curvas?

Answer 1

Si no requiere X ser plana a través de S, entonces usted puede utilizar X = X cuando K=k. Yo no creo que eso es lo que quería.

Suponiendo planitud, no sé las condiciones suficientes para la existencia o suavidad, aparte de tautológica. Ejemplo: digamos que X se plantea como un k-punto en un espacio de moduli de suave variedades. Esto define una racional mapa de S_k. Si puede ser promovido a un morfismos de S, entonces la respuesta es sí.

Hay algunas condiciones necesarias, relativas a los buenos cohomology comportamiento. Si X es suave y adecuada sobre los números complejos, se obtiene una variación de la estructura de Hodge y un mapa de la correspondiente clasifying espacio. Extender suavemente, la estructura de Hodge no puede degenerar y el de Gauss-Manin conexión debe ser regular. Creo que hay condiciones similares con p-ádico cohomology ("potencialmente semistable" y "DeRham" son frases que hemos escuchado aquí) y l-ádico cohomology ("mixto" versus "puro"). En general, no sé qué tan cerca está de llegar a un modelo suave una vez que estos obstáculos sean superados.

Answer 2

Yo también estaría muy interesado si alguien podría apuntar a una buena referencia para esta pregunta, pero no estoy permitido a votar por la pregunta.

Nekovar la encuesta de artículo sobre la Beilinson conjeturas a partir de principios de los años 90 menciona algunos de los resultados de las variedades de más de Q. Se dice en la sección 5.3 que, dado un suave variedad proyectiva sobre Q, existe siempre un adecuado plano de un modelo de Z, pero que regular este tipo de modelos es rara vez sabe que existen. Sin embargo, en la versión publicada de la misma encuesta, hay una nota agregada al final del artículo que dice que "Spivakovsky anunció recientemente un resultado general sobre la resolución de singularidades, lo que implica que un regular adecuado plana modelo de X se menciona en la cláusula 5.3 existir siempre". Sin embargo, nunca he visto este resultado de Spivakovsky se menciona en ninguna otra parte, así que dudo que sea cierto. ¿Alguien más sabe más acerca de esto?

La encuesta está disponible aquí: http://people.math.jussieu.fr/~nekovar/pu/mot.pdf

Para la versión publicada, google "Serre Jannsen los Motivos", haga clic en en la búsqueda de Libros de Google vínculo y, a continuación, busque "Spivakovsky" dentro del libro.

En general, para el caso cuando k es un campo de número y S es el anillo de enteros de k, parece razonable pedir general teoremas acerca de la existencia de lisa modelos, a pesar de que uno podría tal vez la esperanza de algo sobre las modelos. Por ejemplo, creo que no hay ninguna que no sea trivial suave y adecuado de las curvas de más de Especificación(Z) en todo (aunque hay suave y adecuado de estos esquemas de mayor dimensión, y hay también suave y adecuado de dichos planes en cualquier dimensión, incluyendo 1, sobre los anillos de enteros en otros campos de número).

Answer 3

Encontrar un global de modelo integral es demasiado difícil, así que vamos a suponer que S es local, por ejemplo, un completo DVR. No sé si hay algún resultado general sobre la existencia de locales integral de los modelos, y aún existe, puede no ser único.

Pero para Shimura variedades de abelian tipo, no es un resultado general. Milne plantea una condición adicional en locales integral de los modelos, y llamó a un modelo que cumplan esta condición de "canónica modelo integral". Con esta condición se puede demostrar que el modelo canónico, si existe, es único.

Sea G ser una reductora grupo más racionales y $K$ un pacto abierto subgrupo de G(A_f)=finito adelic puntos de G, y deje $X$ ser un conjunto de G(\mathbb R)-clases conjugacy de homomorphisms S --> G_{\mathbb R}. Suponga que (G,X) es un Shimura dato de abelian tipo, y asumir G y K son unramified en una racional primer p, entonces la Shimura variedad S_K(G,X) definida por (G,X,K) tiene canónica buena reducción en cada lugar finito v del reflejo de campo situada por encima de p, es decir, modelos canónicos existe, y tiene buena reducción. La condición de que G y K son unramified en p es equivalente a la existencia de un hyperspecial subgrupo K_p de G(\mathbb Q_p) y el p-componente de K ser K_p. Ver algunos documentos/notas de Milne, por ejemplo, introducción a Shimura variedades, p.130-131.

Answer 4

Hay una muy buena respuesta para abelian variedades.

Teorema 1.1 de Conrad y de Brinon de las notas de la p-ádico teoría de hodge le da un buen teorema en el caso de Abelian variedades: dejar que Un ser un abelian variedad (para simplificar, más Q), l a primera, y se $p \neq l$ un segundo prime. A continuación, tiene Una buena reducción (por ejemplo, no existe un modelo suave) iff la l-ádico Tate módulo (equivalentemente, la l-ádico etale cohomology) es unramified en p. Para una curva elíptica primaria, prueba de ello es Silverman de la Aritmética de Curvas Elípticas, Teorema 7.1 (Criterio de Nerón–Ogg–Shafarevich).

El caso l = p es en un sentido el principio de la p-ádico teoría de hodge. Grothendieck dio un buen criterio en términos de p-divisible grupos: Una se extiende a un modelo suave iff cada uno de torsión subscheme Un[n] se extiende a un modelo integral (en forma compatible). Esto es lo mismo que decir que el p-divisible grupo asociado a Una se extiende a un modelo integral. Todo esto se explica muy bien en el Conrad y Brinon notas (Sección 7).

Más tarde se comprobó que esto es equivalente a la p-ádico Tate módulo Cristalino. Esto también está en Brinon y Conrad notas.

Por último, este tipo de teorema de falla de superficies, incluso cuando se $l \neq p$! Creo que Shenghao Sol sabe un ejemplo donde la l-ádico etale cohomology es unramified en p, pero la superficie todavía tenía la mala reducción.

Answer 5

Estoy feliz de presentarles mi ejemplo de una suave superficie proyectiva $X$ más de $K=\mathbb{Q}_p$ ($p$ prime) tal que $X(K)\neq\emptyset$, cuya $l$-ádico cohomology grupos unramified (para todos los números primos $l$) y que todavía tiene mala reducción : no es liso $\mathbb{Z}_p$-cuyo esquema genérico la fibra es $X$. (El método funciona para cualquier finito extensión de $\mathbb{Q}_p$ y se ha trabajado un par de años).

La superficie de la $X$ va a ser una cónica paquete de más de $\mathbb{P}_1$ con cuatro degenerados de las fibras, por lo que es un racional de la superficie en el sentido de ser $\bar K$-birational to $\mathbb{P}_2$. Está claro que el ejemplo no es aislado.

Si $p$ es impar, vamos a $d\in\mathbb{Z}_p^\times$ ser una unidad que es no es un cuadrado, y tome $d=5$ si $p=2$, por lo que el $K(\sqrt{d})|K$ es el unramified cuadrática de extensión.

Deje $e_1, e_2$ ser dos distintas unidades de $K$. Tomamos $X$ a la superficie en $\mathbb{P}({\cal O}(2)\oplus{\cal O}(2)\oplus{\cal O})$ (coordenadas $y:z:t$) más de $\mathbb{P}_1$ (coordenadas $x:x'$) definido por la ecuación $$ y^2-dz^2=xx'(x-e_1x')(x-e_2x')t^2. $$ Afirmo que esta $X$ tiene todas las propiedades se indicó anteriormente, si $v_p(e_1-e_2)>0$.

En primer lugar, $X(K)\neq\emptyset$ debido a que cada degenerare fibra es un par de las líneas de intersección conjugado por $\mathrm{Gal}(\bar K|K)$.

En segundo lugar, el $l$-ádico cohomology es unramified debido a la acción de $\mathrm{Gal}(\bar K|K)$ en el grupo de Picard $\mathrm{Pic}(\bar{X})$ $\bar X=X\times_K\bar K$ factors via the quotient $\mathrm{Ga}(K(\sqrt{d})|K)$.

Finalmente, $X$ tiene mala reducción debido a su Chow grupo $A_0(X)_0$ $0$- ciclos de grado $0$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (cf. prop. 1 de arXiv:matemáticas/0302156), y un teorema de Bloch (th. 0.4, En el Chow de ciertos grupos de racional de las superficies, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4, 14 no. 1 (1981), pág. 41-59, disponible en Numdam) afirma que si una cónica paquete tiene buena reducción, luego de su Chow grupo de $0$-ciclos de grado $0$$0$.

Addendum (en respuesta a una pregunta en un correo electrónico que he recibido). Uno puede mostrar, además, que no lisa superficie proyectiva $Y$ $\mathbf{Q}_p$ $\mathbf{Q}_p$- birational a $X$ puede tener buena reducción. Esto se desprende de los hechos recordó anterior y el teorema de Colliot-Thélène y Coray (que se puede encontrar en Fulton de la Intersección de la teoría de la) : $A_0(Y)_0$ es isomorfo a $A_0(X)_0$.