Prueba $\frac{\cos^3{x}-\sin^3{x}}{\cos{x}-\sin{x}} =1+\frac{1}{2} \sin{2x}$

Question

Prueba

$$\frac{\cos^3{x}-\sin^3{x}}{\cos{x}-\sin{x}} =1+\frac{1}{2} \sin{2x}$$

Cómo empiezo :( ¿qué identidad utilizo?

Answer 1

Pista: utiliza la identidad:

$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ .

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La solución es la siguiente:

Tenemos $\cos^3 x -\sin^3 x =(\cos x-\sin x)(\cos^2 x +\cos x\sin x +\sin^2 x )$ .

Así que:

$$\eqalign{{ \cos^3 x -\sin^3 x\over \cos x-\sin x}&= {(\cos x-\sin x)(\cos^2 x +\cos x\sin x +\sin^2 x )\over (\cos x-\sin x)}\cr &=1+\cos x\sin x\cr &=1+\textstyle{1\over2}\sin 2x.} $$

(La última igualdad utiliza la identidad trigonométrica $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ .)

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Como señala @Dilip Sarwate en el comentario siguiente, lo anterior no se cumple cuando $\cos x=\sin x$ . En este caso, ${ \cos^3 x -\sin^3 x\over \cos x-\sin x}$ no está definido. Por supuesto, siempre que ${ \cos^3 x -\sin^3 x\over \cos x-\sin x}$ se define, es igual a $1+{1\over2}\sin 2x$ .