Encuentre $BF$ en la siguiente pregunta.

Question

$ABCD$ es un cuadrilátero con ángulo recto en $A$ y $C$ . Puntos $E$ y $F$ están en la diagonal $AC$ tal que $DE$ y $BF$ son ambos perpendiculares a $AC$ . Piden $BF$ . Si $AE=3$ , $DE=5$ , $CE=7$ .

Se trata de una suma basada en los principios de similitud y teorema básico de proporcionalidad y geometría básica. Lo he intentado pero no lo he conseguido. Intenté la similitud entre DEF y BFC pero no pude encontrar FC así que no pude resolverlo

Answer 1

Esta es la figura de la situación dada. Sea $EF=x$ .

En $\triangle DAE$ , $$\tan \theta=\frac{DE}{AE}=\frac{5}{3}$$ En $\triangle BFA$ , $\angle FAB=(90°-\theta)$ $$\therefore \tan(90°-\theta)=\frac{BF}{AF}=\frac{BF}{3+x}\dots\tag{1}$$

Ahora, en $\triangle DCE$ , $$\tan\alpha=\frac{5}{7}$$ En $\triangle CFB$ , $\angle FCB=(90°-\alpha)$ $$\therefore \tan(90°-\alpha) =\frac{BF}{FC}=\frac{BF}{7-x}\dots\tag{2}$$

Dividir la ecuación $1$ y $2$ , lo que nos da $x=4$ . Ahora, puede encontrar $BF$ .

Answer 2

No hay necesidad de la trigonometría en absoluto. Usando el diagrama de Doubtnut, $\angle FAB = 90º - \theta$ y como $\angle AFB$ también tiene razón, $\angle ABF = \theta$ . Por lo tanto, $\Delta ADE \sim \Delta BAF$ .

Usando el mismo razonamiento, $\Delta DCE \sim \Delta FBC$ .

Ahora utiliza la semejanza de los triángulos para construir dos ecuaciones. Al principio, es posible que haya demasiados lados desconocidos, pero puedes, de hecho, expresar todos los lados restantes en términos de $AF$ . Resolver para $AF$ y usar esto para encontrar $BF$ .

¿Puede continuar?

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La solución completa se esconde detrás del alerón:

$$\Delta ADE \sim \Delta BAF \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{BF}{AF} \tag{1}$$ $$\Delta DCE \sim \Delta FBC \Rightarrow \frac{5}{7} = \frac{CF}{BF} \tag{2}$$ Desde $(1)$ , $BF = \frac{3}{5} AF$ . Desde $AC = AE + CE = 10$ , $CF = 10 - AF$ . Combinando estos dos hechos: $$\frac{5}{7} = \frac{10-AF}{(3/5) AF} \Rightarrow 3AF = 70 - 7AF \Rightarrow AF = 7$$ y como $BF = \frac{3}{5} AF$ , $BF = \frac{21}{5}$ .