Estructura del campo en $\mathbb{R}^2$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

¿Hay una forma sencilla de ver que si ponemos una multiplicación $*$ en $\mathbb{R}^2$ (considerado como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ ) tal que con la suma habitual y esta multiplicación $\mathbb{R}^2$ se convierte en un campo, entonces existe un $(x,y)$ tal que $(x,y)*(x,y)=-1$ ?

Observación:

1. Lo que quiero decir con "una forma sencilla de ver" es que realmente no quiero referirme al Teorema de Frobenius sobre álgebras reales de división de dimensión finita.

2. No lo he dicho en el problema pero también estoy suponiendo que con esta multiplicación $\mathbb{R}^2$ se convierte en un álgebra que significa $x*(\alpha y)=\alpha(x*y).$

Answer 1

Perdona si lo hago demasiado elemental: Si $1\in\mathbb R^2$ denota $1$ de su campo, y si $x\in\mathbb R^2$ no es su verdadero múltiplo: $1,x,x^2$ son linealmente dependientes (sobre $\mathbb R$ ), es decir $ax^2+bx+c=0$ para algunos $a,b,c$ y $a\neq 0$ (como $x$ no es un múltiplo de $1$ ), por lo que podemos suponer que es 1. Si completamos los cuadrados, obtenemos $(x+p)^2+q=0$ para algunos $p,q\in \mathbb R$ . Ahora $q$ debe ser positivo - de lo contrario $(x+p+\sqrt{-q})(x+p-\sqrt{-q})=0$ , por lo que no tiene un campo (encontramos divisores de $0$ ). Así que finalmente $(x+p)/\sqrt{q}$ es el elemento que quieres.

Answer 2

La adición habitual obliga a $\Bbb R$ para ser un subcampo bidimensional de su campo $F$ (Considere $\Bbb R1_F)$ . Si se asume el teorema fundamental del álgebra, y se tienen algunos conocimientos de teoría de campos, entonces es relativamente sencillo. Supongamos que ninguna raíz de $x^2+1=0$ entonces $$F(i)=F[x]/(x^2+1)\ \text{is degree $ 2 $ over $ F $}$$ así que $F(i)$ es una extensión finita (por tanto algebraica) de grado cuatro de $\Bbb R$ como $$[F(i):F][F:\Bbb R]=[F(i):\Bbb R] $$ Pero esto no puede ocurrir ya que cualquier extensión finita de $\Bbb R$ está contenido dentro de un campo isomorfo a $\Bbb C$ . (ya que $\Bbb C$ es el cierre algebraico de $\Bbb R$ y es de grado dos sobre $\Bbb R$ ).

Answer 3

Se trata de una extensión de campo de $\Bbb R$ de grado dos, pero por el teorema fundamental del álgebra, ese campo que está por encima de $\Bbb R$ es único hasta el isomorfismo y es isomorfo a $\Bbb C$ .