Mapeo de débil a fuerte

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert real. Un mapeo $F:H \rightarrow H$ se dice que

• fuertemente monótono si existe $\alpha>0$ tal que $$ \langle F(u)-F(v), u-v\rangle\geq \alpha \|u-v\|^2, \quad \forall u,v\in H; $$

• inversa fuertemente monótona si existe $\alpha>0$ tal que $$ \langle F(u)-F(v), u-v\rangle\geq \alpha \|F(u)-F(v)\|^2, \quad \forall u,v\in H; $$

• de débil a fuerte si se cumple la siguiente implicación $$ (u_n\rightharpoonup u_*, F(u_n)\rightarrow F(u_*))\; \Longrightarrow\;(u_n\rightarrow u_*) $$

• Lipschitz continuo si existe $L>0$ tal que $$ \|F(u)-F(v)\|\leq L\|u-v\|, \quad \forall u,v\in H. $$

A partir de las definiciones anteriores, podemos comprobar que

• Si $F$ es Lipschitz continua y fuertemente monótona entonces $F$ es inversamente monótona.

• Si $F$ es fuertemente monótona que $F$ es de débil a fuerte.

• Si $F$ es inversamente monótona, entonces $F$ es continua de Lipschitz.

Tengo algunas dificultades en la siguiente pregunta:

"¿Podríamos construir una clase de mapeos inversos fuertemente monótonos en un espacio de Hilbert real de dimensión infinita que sean débiles a fuertes pero que ninguno de ellos sea fuertemente monótono?"

Me gustaría agradecer todos los amables comentarios y la ayuda.

Answer 1

Para un fijo $p>0$ , defina $$F(u)=\min(\|u\|^p,1)\, u$$ Este mapa es un homeomorfismo, cuya inversa viene dada por $$F^{-1}(u)=\max(\|u\|^{q},1)\, u, \quad q=-\frac{p}{p+1}$$ Por lo tanto, $F(u_n)\to F(u)$ implica $u_n\to u$ .

Observe que $F$ es Lipschitz pero $F^{-1}$ no lo es. En particular, $F^{-1}$ no es inversamente monótona. Esto significa que $F$ no es fuertemente monótona.

Queda por demostrar que $F$ es inversamente monótona. Equivalentemente, podemos demostrar que $F^{-1}$ es fuertemente monótona. Una forma de hacerlo es observar que $F^{-1}$ es el gradiente de la función convexa $V(x)=\max(\|u\|^2/2, \|u\|^{2+q}/(2+q))$ . El cálculo es esencialmente de dimensión finita, por lo que podemos trabajar simplemente con la matriz hessiana de $V$ . Cuando $\|u\|>1$ la matriz es la identidad. Cuando $\|u\|<1$ es un múltiplo de la identidad más una matriz semidefinida positiva. De cualquier manera, $V$ es fuertemente convexo y, por tanto, su gradiente es fuertemente monótono.