Por qué $\frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \sin a x=\frac{\sin a x}{f\left(-a^{2}\right)}$ da la solución particular?

Question

Recientemente el tema de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus soluciones particulares se pensó en nuestra universidad, y ellos hicieron algunos cálculos desordenados y llegaron a algunas fórmulas complejas para resolver las soluciones particulares (se refieren a ellas como integrales particulares), aquí hay un ejemplo de una de ellas

$\frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \sin a x=\frac{\sin a x}{f\left(-a^{2}\right)}$

Pero conozco el método que utiliza soluciones de prueba para encontrar la solución particular

Así que es muy difícil comprender que el término ( $\frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \sin a x$ ) puede referirse a la solución particular de una ecuación diferencial con un término de forzamiento sinusoidal

Alguien puede ayudarme a entenderlo

Answer 1

Set $D:=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$

$D(\sin ax)=a\cos ax, D^2(\sin ax)=(-a^2)\sin ax$

Sirve para facilitar la anotación. Dada una EDO con coeficientes constantes, $f(D)y=p(x)$ entonces una solución particular se denota por $y_p=\frac 1{f(D)}p(x).$ Piensa en ello como $\overbrace{\frac{\mathrm d f}{\mathrm dx}(x)=g(x)}^{Df(x)=g(x)}\implies \overbrace{f(x)=\int g(t)\,dt}^{f(x)=\frac 1{D} g(x)}.$

Tenga en cuenta que $D^{2r}(\sin ax)=(-a^2)^r\sin ax, r\ge 1$ .

Supongamos que la EDO dada es:

$(D^{2r}+a_{2r-2}D^{2r-2}+...+a_2D^2)y=\sin ax\implies y=\frac 1{f(D^2)}\sin ax,\tag 1$ donde $f(D^2):=D^{2r}+a_{2r-2}D^{2r-2}+...+a_2D^2$ .

Tenga en cuenta que: $(D^{2r}+a_{2r-2}D^{2r-2}+...+a_2D^2)\sin ax=f(D^2)\sin ax=f(-a^2)\sin ax\tag 2$

Utilice $(2)$ en $(1)$ para conseguirlo: $y=\frac 1{f(-a^2)}\sin ax,$ siempre que $f(-a^2)\ne 0$ .