Si existe una teoría del todo, ¿es necesariamente única?

Question

Existe un interesante debate sobre si puede existir una "teoría del todo" (ToE) en el sentido matemático, véase ¿Gödel excluye una TdE factible? , La teoría final en física: ¿una existencia matemática de la prueba? y Argumentos contra la teoría del todo . Dado que, hasta donde yo sé, esta es una cuestión abierta, supongamos por ahora que la formulación de una TdE es posible. Tengo curiosidad por saber qué se puede decir sobre la unicidad de tal teoría.

Ahora la parte difícil, donde estoy bastante seguro de que estoy a punto de arrinconarme en una esquina lógica. Para aclarar lo que quiero decir con único: las teorías físicas se formulan matemáticamente. Es posible probar si dos formalismos matemáticos son equivalentes (¿cierto? ver punto 3 más abajo). Si es así, es posible probar la equivalencia matemática de varias teorías. Desde el punto de vista bayesiano, cualquier teoría que prediga un conjunto de observables es igualmente válida, pero el grado de creencia en una determinada teoría está modulado por las observaciones de los observables y sus errores asociados. Así pues, consideremos ahora el conjunto de todas las formulaciones posibles de las teorías que predicen el conjunto de todos los observables; dentro de este conjunto viven subconjuntos de formulaciones matemáticamente equivalentes. El número de estos subconjuntos es el número de TdE únicas. Ahora la pregunta es ¿cuántos subconjuntos hay?

Posibilidades:

• Se puede demostrar que si existe una TdE, ésta es necesariamente única ( $1$ subconjunto).
• Se puede demostrar que si existe una TdE, ésta no es necesariamente única ( $>1$ subconjunto).
• Se puede demostrar que es imposible decir nada sobre la unicidad de una TdE, en caso de que exista (es imposible probar la equivalencia matemática de las teorías).
• No sabemos si podemos decir algo sobre la unicidad de una TdE, en caso de que exista.

Así que esto es realmente preguntar sobre el conjunto de sistemas matemáticos cerrados (teorías físicas) de un número arbitrario (¿infinito?) de variables (observables). Esto es honestamente una pregunta matemática pura, pero aquí fuertemente motivado físicamente.

Sospecho que la respuesta es probablemente el cuarto punto, pero seguro que se ha investigado sobre el tema. Espero que alguien que esté familiarizado con la literatura de la TdE pueda arrojar algo de luz sobre la cuestión.

Answer 1

Ampliaré mi comentario anterior en una respuesta:

Si buscas una TOE que sea una teoría matemática, tiene que ser al menos una teoría lógica, es decir, necesitas definir los símbolos y enunciados, y las reglas de inferencia para escribir nuevas oraciones (verdaderas) a partir de los axiomas. Obviamente, habría que añadir estructuras matemáticas mediante axiomas adicionales, símbolos, etc. para obtener un poder predictivo suficiente para responder a preguntas físicamente relevantes.

Entonces, dadas dos teorías, se tiene la siguiente definición lógica de equivalencia dejemos que $A$ y $B$ sean dos teorías. Entonces $A$ equivale a $B$ si: para cada declaración $a$ de ambos $A$ y $B$ , $a$ es demostrable en $A$ $\Leftrightarrow$ $a$ es demostrable en $B$ .

Evidentemente, se pueden escribir declaraciones en $A$ que no están en $B$ o viceversa, si los objetos y símbolos de $A$ y $B$ no son los mismos. Pero supongamos (para simplificar) que los símbolos de $A$ y $B$ coinciden, como las reglas de inferencia, y sólo difieren para los objetos (en el sentido de que $A$ puede contener más objetos que $B$ o viceversa) y los axiomas.

En este contexto, las teorías de conjuntos ZFC y Bernays-Godel son equivalentes, cuando se consideran enunciados sobre conjuntos, aunque los axiomas sean diferentes y la teoría Bernays-Godel defina las clases como objetos matemáticos, mientras que ZFC no lo hace.

Vamos a empezar a hablar de física, y de TOE, siguiendo la discusión en los comentarios. Se ha dicho que dos TOE deben diferir sólo en los enunciados no físicos, ya que, al fin y al cabo, tienen que ser TOE y, por tanto, explicar toda observación física de la misma manera. Estoy de acuerdo, y a partir de ahora vamos a considerar sólo las teorías en las que los enunciados físicos son verdaderos.

Dejemos que $A$ sea un TOE. Sea $a$ sea un axioma independiente de los axiomas de $A$ (eso significa, a grandes rasgos, que hay enunciados indecidibles en $A$ que son decidibles en $A+a$ pero todas las afirmaciones son verdaderas en $A$ siguen siendo ciertas en $A+a$ ). En primer lugar, tal $a$ existe por el teorema de Godel, ya que siempre hay un enunciado indecidible, dada una teoría lógica. También, $a$ no es físico, ya que $A$ es un TOE. Finalmente, $A$ y $A+a$ no son equivalentes (en el sentido anterior), y son TOEs.

Un ejemplo es, en mi opinión, la hipótesis del continuo generalizado (GCH): sin entrar en detalles, se ha demostrado con la teoría del forzamiento que es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC. Así, $ZFC$ , $ZFC+GCH$ y $ZFC+\overline{GCH}$ (ZFC más la negación de GCH) son todas las teorías no equivalentes que contienen $ZFC$ . Es muy probable que un TOE deba contener teoría de conjuntos, por ejemplo, ZFC. Sea $A$ ser un TOE de este tipo. Además, es muy probable que $GCH$ no es un axioma físicamente relevante (al menos no lo es para nuestro conocimiento actual). Entonces $A$ y $A+GCH$ serían TOEs no equivalentes, entonces un TOE no es único.

He estudiado un poco de lógica sólo por diversión, así que puedo ser equivocada ...Si alguien lo piensa y me puede corregir es bienvenido ;-)

Answer 2

Al igual que yuggib, he decidido ampliar mi(s) comentario(s) en una respuesta. Sin embargo, adoptaré un enfoque menos formal. A partir de los comentarios, parece que lo siguiente podría ser un punto de vista satisfactorio y factible para el físico (no riguroso):

Dos teorías físicas del todo $A$ & $B$ claramente deben predecir la misma física en cualquier situación física, ya que deben ser ToE's. Sin embargo, podemos imaginar que dos teorías físicas son (matemáticamente) no equivalentes en el siguiente sentido: Hay una no físico situación en la que las dos teorías predicen algo diferente.

Llamamos a una teoría único si no existe una teoría no equivalente en el sentido anterior.

La cuestión más importante es si es razonable que esperemos que -suponiendo que una TdE exista y pueda encontrarse- una TdE sea única. Dada una TdE podemos, por supuesto, construir un ejemplo algo trivial y poco interesante de una TdE no equivalente añadiendo "a mano" una nueva regla que cambie explícitamente las predicciones de la teoría de una manera estrictamente no física. Sin embargo, intuitivamente sabemos que no deberíamos considerar esto como una TdE no equivalente (aunque esto puede ser difícil de formalizar). Creo que esto es similar a la construcción esbozada en la respuesta de yuggib.

Descartando estos ejemplos "fáciles", ¿podemos seguir esperando que surja una TdE no equivalente de forma no trivial? Personalmente creo que la respuesta es sí, pero no tengo ninguna matemática (o física) que apoye mi afirmación. De hecho, no estoy seguro de que sea posible razonar de forma consistente sobre estas cuestiones. Tal vez, la mejor manera de pensar en esta cuestión es históricamente .

Ya se sabe que algunas de nuestras teorías actuales pueden formularse de una manera que realmente es matemáticamente no equivalente en el sentido anterior. Un ejemplo que conozco es La teoría simétrica en el tiempo del electromagnetismo clásico de Feynman (en comparación, por supuesto, con la formulación habitual de EM), que predice que un electrón no irradia si está solo en el universo . Si podemos asumir que una TdE no es algo fundamentalmente diferente, epistemológicamente, que el último paso en nuestro conocimiento gradualmente creciente del universo, podría ser razonable concluir de nuestras experiencias con teorías más antiguas que, de hecho, podemos esperar que existan múltiples teorías no equivalentes.

Advertencia: no puedo afirmar con certeza que lo anterior sea razonable, coherente y/o verdadero.

Answer 3

Es posible comprobar si dos formalismos matemáticos son equivalentes

No, no es posible. Las matemáticas permiten hablar de cosas sobre las que no se puede determinar si son equivalentes. El problema de las palabras es un pequeño ejemplo y la mayoría de los sistemas matemáticos sufren el mismo problema.

Consideremos ahora el conjunto de todas las formulaciones posibles de las teorías que predicen el conjunto de todos los observables

Ahora ya estás usando una teoría de conjuntos particular, ZFC y NFU podrían darte conjuntos diferentes en ambos niveles. Si quieres fijar una versión particular de las matemáticas te encontrarás con el problema de los modelos no estándar. Puedes tratar de evitarlo acudiendo a la lógica de segundo orden y haciendo una teoría de segundo orden, pero la lógica de segundo orden asume exactamente lo que estás discutiendo, así que es la clásica pregunta suplicante en la que asumes lo que quieres demostrar. Por esa razón, es intelectualmente insolvente en este contexto.

Las matemáticas, tal y como se practican habitualmente, son como un juego de simulación. Se trata de suponer algunas cosas y ver hasta dónde se puede llegar, dejando las suposiciones sin cuestionar. Lo hace, lo hace. Pero intentar conseguir más es problemático.

Pero más allá de las matemáticas ya hay algo de mala física también.

Por ejemplo, podría haber un mundo en el que la mecánica newtoniana en 3D fuera precisa como TOE. Y podría haber otro mundo en el que la mecánica newtoniana en 2D fuera exacta como TOE. Pero esa primera teoría es totalmente capaz de describir el segundo mundo, sólo que tendría todas las posiciones y momentos iniciales en algún plano fijo.

La primera teoría permite más observaciones y más condiciones iniciales. Pero funciona bien para el universo más restrictivo.

Pero podríamos hacer lo mismo con la RG, sólo hay que añadir otra coordenada $w$ y decir que todo tiene su velocidad de coordenadas en el $w$ sea constante, pero las otras cuatro coordenadas de un objeto evolucionan igual que en la RG regular. Entonces, si las condiciones iniciales tienen todo en $w=0$ inicialmente y no $w$ velocidad entonces se quedan ahí pero esta teoría de mayor dimensión tiene la libertad (innecesaria en nuestro caso) de acomodar otras condiciones iniciales.

Se puede demostrar que si existe una TdE, no es necesariamente única

Tome cualquier teoría T. Añada un nuevo parámetro. Diga que si las cosas tienen el mismo valor de parámetro entonces las cosas se comportan como lo hacen en T pero si tienen valores diferentes se comportan de manera diferente, sea específico. Diga que su valor del nuevo parámetro cambia de alguna manera simple tal que cuando se hacen cosas nuevas de cosas que tenían el mismo valor del parámetro que la cosa nueva tiene el mismo valor y donde es posible que todo siga teniendo el mismo valor de ese nuevo parámetro I manera independiente de todo lo demás. Entonces tienes una nueva teoría N. Pero puedes usar N tan fácilmente como T simplemente especificando las condiciones iniciales donde todo tiene el mismo valor del parámetro y empieza de la manera en que ese valor no cambia.

Pero la navaja de Occam favorece la primera TOE T porque la TOE N es realmente una teoría de demasiado.

Usted preguntó si

se puede demostrar que es imposible decir nada sobre la unicidad de una TdE, en caso de que exista (es imposible probar la equivalencia matemática de las teorías)

Y en general no se puede probar la equivalencia de las teorías, pero algunas teorías se pueden probar. Así que a veces se puede, a veces no se puede. A veces se puede saber que no se puede.

Como dijiste que era una pregunta matemática, no es de extrañar que todo dependa de tus definiciones exactas.