¿Cómo entender las ecuaciones de un plano?

Question

Con frecuencia tengo que resolver problemas que implican expresar un plano dado (por ejemplo, un plano horizontal, un plano vertical) en forma cartesiana y/o vectorial.

Por ejemplo:

No sé cómo enfocar este tipo de preguntas. Por favor, aconséjeme cómo enfocar esta cuestión.

Además, dada una ecuación, no siempre sé cómo darle una interpretación geométrica.

Por ejemplo,

$2x-y=3$ es un plano paralelo al eje z.

No veo esto y no sé cómo trazar ya que el $z$ la coordenada no está en la ecuación.

¿Cómo se interpretan esas ecuaciones y se dan ecuaciones de varios tipos de planos de una determinada propiedad sin memorizarlas?

Answer 1

El avión $2x - y = 3$ (o, más generalmente $ax + by = c$ ) es paralela a la $z$ eje precisamente porque $z$ no aparece en la ecuación. Por lo tanto, si algún punto $(x_0,y_0, z_0)$ satisface la ecuación del plano, entonces cualquier otro punto de la forma $(x_0,y_0, z_1)$ también debe satisfacer la ecuación, sin importar que $z_1$ elegimos, porque sólo hemos cambiado $z=z_0$ a $z=z_1$ y $z$ no aparece en la ecuación.

¿Qué significa esto? Bueno, significa que toda una línea infinita de puntos de la forma $(x_0,y_0, z_0)$ debe pertenecer al plano. Estas líneas son paralelas a la $z$ -eje, por lo que el plano es paralelo al $z$ -eje.

Según este razonamiento, un plano de la forma $z = c$ deben ser paralelos a los dos $x$ et $y$ ejes, por lo que (si no era ya evidente) vemos que este tipo de plano debe ser perpenedicular al $z$ eje.

Answer 2

Un plano horizontal es de la forma $z=c$ . El hecho de que $z$ no aparece en la ecuación $2x-y=3$ significa que la intersección de este plano con un plano de la forma $z=c$ siempre tiene la misma ecuación (vista como una ecuación en el plano $z=c$ ), a saber $2x-y=3$ . Así que una parametrización para dicha línea sería $(x=t,y=2t-3,z=c)$ . En general, si tiene alguna ecuación en $x$ et $y$ y quiere ver su espacio de soluciones en $\mathbb{R}^3$ se dibuja el aspecto del espacio de la solución en el $xy$ -plano y luego simplemente extenderlo en el $z$ dirección.

Answer 3

Las coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ de un punto pueden verse como las componentes del radio-vector $\boldsymbol{r}$ que conecta el punto con el origen. Tome un punto en el plano, $\boldsymbol{r}_0$ . Buscamos vectores $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0$ ortogonal al vector normal del plano $\boldsymbol{n}$ . La ecuación del plano es el producto escalar $\boldsymbol{n}\cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0)$ =0. http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Point-normal_form_and_general_form_of_the_equation_of_a_plane