El campo de división de $x^3+x^2+1$ en ${\Bbb Z}/(2)$

Question

Dejemos que $F=\mathbb Z/(2)$ . El campo de división de $x^3+x^2+1\in F[x]$ es un campo finito con ocho elementos.

mi intento de solución:

Si $\alpha$ es una raíz de este polinomio en su campo de división, entonces me gustaría demostrar que $F(\alpha)$ es el campo de división.

lo que obtengo es $x^3+x^2+1=(x-\alpha)(x^2+(1+\alpha)x+(\alpha +\alpha^2))$ .

Estoy tratando de encontrar la raíz de $x^2+(1+\alpha)x+(\alpha +\alpha^2)$ , tal vez sea un múltiplo de $\alpha$ .

¡Necesito ayuda!

gracias

Answer 1

Una pista: En un campo de características $2$ el mapa $x\mapsto x^2$ es un automorfismo. (Si $\alpha$ es una raíz, entonces $\alpha^2$ et $\alpha^4$ también son raíces; ¿por qué son diferentes estas tres? Ten en cuenta que $\alpha^8=\alpha$ de nuevo)

Sugerencia de solución alternativa: ¿Qué puede decir sobre $F[x]/(x^3+x^2+1)$ como $F$ ¿espacio vectorial y como anillo? (Es un campo donde $[x]$ es una raíz evidente de nuestro polinomio y un espacio vectorial tridimensional, por lo que con $8$ elementos; ¿por qué no hay un campo de división más pequeño?)

Answer 2

Una pista: Demostrar que no hay raíces, deducir que el polinomio es irreducible de grado $3$ y concluir que el cociente es de grado $3$ . Recordemos que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ en $F$ entonces $V\cong F^{n}$ y en particular $|V|=|F^{n}|=|F|^{n}$

Answer 3

Sugerencia: Si $f(x)$ es un polinomio irreducible, ¿qué sabes de la relación entre sus raíces?