¿Qué representa concretamente el "espacio base"?
En este caso, estamos hablando de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $F$ , dotado de alguna forma bilineal $V\times V\to F$ . Se puede decir que el conjunto $V$ es el espacio base para la forma bilineal. También se le puede llamar "espacio subyacente".
Entonces, al generar un álgebra geométrica(/Clifford) utilizando $V$ y esta forma bilineal, todavía se puede referir a $V$ como "base" para el álgebra ya que es lo que se necesita para generar el álgebra.
$V$ es importante suele utilizarse para modelar cosas geométricas muy directamente, mientras que los elementos del álgebra de Clifford se interpretan como si operaran sobre las cosas del espacio subyacente. Por ejemplo rotores son elementos del álgebra que actúan sobre una imagen de $V$ en el álgebra de Clifford, modelando la rotación en $V$ .
¿Cuál es la diferencia entre el escalar ordinario o el producto interno $xy$ et $xAy$ ?
Realmente, hay un par de cosas que hay que tener en cuenta aquí. La primera es la idea de una forma bilineal $B:V\times V\to F$ . Esto es algo abstracto con propiedades particulares .
Si usted fijar una base de $V$ entonces se puede expresar una forma bilineal como $B(x,y)=x^\top Ay$ donde $x,y$ son vectores columna y $A$ es una matriz, y la segunda mitad de la igualdad es la multiplicación de la matriz. Un caso especial es cuando $A$ es la matriz identidad, y entonces tienes el producto interno regular.
Es importante saber que $A$ depende de la base que haya elegido . $A$ no es exclusivo de $B$ , $A$ es único con respecto a $B$ y la base. Si se transforma de una base a otra utilizando una matriz $X$ entonces $A$ cambios en $X^\top A X$ . En algunas circunstancias, es posible que pueda tomar una matriz $A$ y encontrar un cambio de base para que $X^\top AX=I_n$ en la nueva base, y entonces tu nueva base hace que tu forma bilineal se parezca al producto punto.
Otra cosa que hay que tener en cuenta es que si $B$ es simétrica (es decir, $B(x,y)=B(y,x)$ para todos $x,y$ ) entonces $A$ es una matriz simétrica.
No estoy muy seguro de si realmente quieres decir $xAy$ ya que normalmente nos gusta interpretarlo como una multiplicación de matrices $x^\top Ay$ . Sin embargo, es totalmente comprensible que se pueda escribir $xBy$ en lugar de $B(x,y)$ por motivos estéticos.
P.D.: No he podido acceder al artículo del que hablas.
