teorema de incrustación de sobolev en el espacio métrico suave

Question

Conocemos el teorema de incrustación de Sobolev de Saloff-Coste

$\Big(\int_B|F|^{2q}d\mu\Big)^{\frac1q}\le e^{C(1+\sqrt KR)}V^{-2/n}R^2\int_B\Big(|\nabla F|^2+R^{-2}F^2\Big)d\mu $

con $Ric\ge-(n-1)K$ , para todos los ' $B$ ' de radio $R$ y el volumen $V$ , $F\in C^{\infty}_0(B)$ , $q=n/(n-2)$ .

Mi pregunta es si esta desigualdad se estableció en el espacio de medida métrica suave, es decir $(M,g,e^{-f}d\mu)$ con la curvatura de Ricci de Bakry-Emery, que se encuentra por debajo de $Ric_f=Ric+Hess f\ge-(n-1)K$ ?

Gracias.

Answer 1

La desigualdad de Sobolev se mantiene para los espacios de medidas métricas generales que satisfacen CD(K,n), en particular para los suaves.

Véase, por ejemplo, el teorema 21.15 del libro de Villani http://math.univ-lyon1.fr/~villani/Cedrif/B07D.StFlour.pdf

También hay que tener en cuenta que el $L^2$ -de la desigualdad de Sobolev se deduce de la $L^1$ -versión insertando una potencia adecuada de la función y utilizando Hölder.