Axiomas alternativos para el producto interior en un espacio vectorial real

Question

Los axiomas que definen un producto interior en un espacio vectorial $V$ son

1. Positividad $\langle v,v\rangle\ge 0$ para todos $v\in V$

2. Definiciones $\langle v,v\rangle=0\iff v=0$

3. Aditividad en la primera ranura $\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$ para todos $u,v,w\in V$

4. Homogeneidad en la primera ranura $\langle\lambda u,v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle$ para todos $\lambda\in\Bbb F$

5. Simetría conjugada $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$ para todos $u,v\in V$

Ahora el ejercicio pide

Demostrar que para un espacio vectorial real distinto de cero si cambiamos el primer axioma (positividad) por

1. Existen algunos $v\in V$ tal que $\langle v,v\rangle>0$

entonces el conjunto de funciones que definen un producto interior sobre $V$ es el mismo.

Estoy completamente atascado en este ejercicio. He intentado demostrarlo por contradicción: WLOG suponer que existen dos linealmente independientes $x,y\in V$ con $\langle x,x\rangle >0$ y $\langle y,y\rangle<0$ tal que

$$\langle x,x\rangle+\langle y,y\rangle=0$$

Pero desde aquí soy incapaz de mostrar una contradicción. Se agradecerá alguna ayuda, gracias.

Answer 1

Si tienes vectores linealmente independientes $x$ y $y$ con $\langle x,x\rangle>0>\langle y,y\rangle$ Considera que $\langle z,z\rangle$ para $z$ en el segmento de línea que une $x$ a $y$ .