Encuentra la integral completa de $(p+q)(px+qy)=1$ .

Question

Estoy atascado en el siguiente problema que dice:

Encuentra la integral completa de $(p+q)(px+qy)=1$ donde $p={ \partial z \over \partial x},q={ \partial z \over \partial y}$ .

Mi intento :

La ecuación dada es : $f(x,y,z,p,q)=(p+q)(px +qy)-1$ . Así que, Ecuaciones auxiliares de Charpit están dadas por: $${dp \over p(p+q)}={dq \over q(p+q)}= {dz \over 0}={dx \over {-q(x-y)}}={dy \over {-p(y-x)}}$$ . Ahora, desde $${dp \over p(p+q)}={dq \over q(p+q)} \implies {dp \over p}={dq \over q} \implies p=aq,\,a $$ siendo constante el arbitraje. Ahora, tengo que usar $$dz=pdx+qdy=q(adx+dy)$$ . Ahora, estoy atascado. La respuesta se da de la forma: $$z(a+1)^{\frac 12}=2(ax+b)^{\frac 12}+b$$

He utilizado la fórmula ${dz \over {-pf_p-qf_q}}={dp \over {f_x+pf_z}}={dq \over {f_y+qf_z}}={dx \over {-f_p}}={dy \over {-f_q}}$ . Aquí, $f_x={\partial f \over \partial x}$ ,.....

¿Puede alguien ayudarme? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

La ecuación dada es: $f(x,y,z,p,q)=(p+q)(px +qy)-1 = p^2x+pqy +pqx+q^2y-1 =0$

Así, las ecuaciones auxiliares de Charpit son: $${dp \over p(p+q)}={dq \over q(p+q)}= {dz \over ...}={dx \over {-(2px+qy+qx)}}={dy \over {-(py+px+2qy)}}$$ Tomando las dos primeras ecuaciones obtenemos $p =aq$ para alguna constante $a$ . Poniéndolo en la ecuación original obtenemos $$q^2 = {1 \over (a+1)(ax+y)}$$ y $$p^2 ={a^2 \over (a+1)(ax+y)}$$ Así, $p = {a \over \sqrt{(a+1)(ax+y)}}$ y $q= {1 \over \sqrt{(a+1)(ax+y)}}$ . Poniendo estos valores de $p,q$ en $dz = pdx +qdy$ nos encontramos con que, $$dz = {d(ax+y)\over \sqrt{(a+1)(ax+y)}}$$

Entonces integrando obtenemos, $$z(a+1)^{\frac 12}=2(ax+b)^{\frac 12}+b$$ donde $a,b$ son constantes.