Versión del lema de Fodor

Question

Sé que las funciones de pulsar hacia abajo existen, pero no me resulta intuitivamente claro. ¿Hay alguna manera de demostrar la existencia de tales funciones en esta forma: $$f: \omega_1 \to \omega_1 $$ $$\exists \alpha \in \omega_1. f^{\to}(\alpha) \subseteq \alpha$$ (imagen de $\alpha$ )

Además, sería útil para demostrar esta versión complicada del lema de la presión hacia abajo:

Si $f: \omega_1 \to \omega_1$ y $f(\alpha) < \alpha$ entonces $\exists \beta \in \omega_1. |f^{\gets}\{\beta\}=\omega_1|$ (imagen previa de $\beta$ )

¿Existe una forma directa de mostrar $\exists \beta \in \omega_1. |f^{\gets}\{\beta\}=\omega_1|$ sin usar palos?

Answer 1

La existencia de este tipo de $f$ es trivial: tome la función de identidad, entonces $f^{-1}(\alpha)=\alpha$ para cualquier $\alpha$ .

Así que esto no sirve para demostrar que cualquier función regresiva tiene una fibra grande. Pero nótese que el lema de Fodor afirma algo más que la cardinalidad. Te dice que hay una "fibra grande", donde grande significa aquí estacionario.

Para demostrar el lema de Fodor, hay que recordar esencialmente la definición de intersección diagonal, y el teorema de que la intersección diagonal de $\omega_1$ clubes (en $\omega_1$ ) es un club de nuevo. Con esto la prueba se escribe más o menos sola: supongamos $f$ es una función regresiva que es un contraejemplo, elija palos que lo atestigüen, tome la intersección diagonal, es no vacía, y demuestre que cualquier $\alpha$ en ese conjunto no vacío implica una contradicción.

(Desde el punto de vista moral, esta es también la prueba correcta, ya que sin el axioma de elección el lema de Fodor se mantiene para $\omega_1$ si y sólo si la intersección diagonal de cualquier familia de $\omega_1$ Los conjuntos que contienen un palo también contienen un palo).

---

Aquí hay un argumento que muestra que la cardinalidad de una fibra tiene que ser $\omega_1$ , no apela directamente al lema de Fodor, aunque esconde el uso de palos.

Supongamos que cada fibra es contable, entonces para cada $\alpha<\omega_1$ Hay un poco de $\beta$ de manera que si $\gamma>\beta$ entonces $f(\gamma)>\alpha$ .

Elige algunos $\alpha_0$ y que $\alpha_{n+1}$ sea el menor ordinal tal que $f(\beta)>\alpha_n$ para todos $\beta>\alpha_{n+1}$ . Ahora considere $\alpha=\sup\{\alpha_n\mid n<\omega\}$ . Entonces por el hecho $f$ es regresivo, $f(\alpha)<\alpha$ . Por otro lado, si $f(\alpha)<\alpha$ entonces hay algo de $n$ tal que $f(\alpha)<\alpha_n$ . Esto es ahora una contradicción, ya que $\alpha>\alpha_{n+1}$ Así que $f(\alpha)>\alpha_n$ .