Encontrar los puntos de bifurcación homoclínicos

Question

Dado el siguiente sistema simple

$$ \dot{x}=x\left(1-ax-\frac{y}{1+x^2}\right)\\ \dot{y}=y\left(b\frac{x}{1+x^2}-c\right) $$

Estoy tratando de producir un diagrama de bifurcación tridimensional. Ahora, he conseguido encontrar bifurcaciones como las de Hopf. Sin embargo, sé por XPPAUT (software de bifurcación numérica), que el ciclo límite desaparece a través de una bifurcación homoclínica. ¿Cómo puedo encontrar este punto? ¿Existe algún método analítico adecuado para mi problema?

Además, se adjunta un diagrama de fase que muestra la órbita homoclínica (líneas negras: trayectorias, líneas verdes y rojas: clines nulos, línea azul: colector estable). Sé lo que es una bifurcación homoclínica. Sin embargo, me cuesta entender los tipos de bifurcaciones homoclínicas. Super/subcrítica y tipo I/tipo II. Supongo que es supercrítica ya que el ciclo límite de fuga es estable. La bifurcación de tipo II significa que la órbita homoclínica "atrapa" los otros extremos de las variedades inestable y estable de la silla. Entonces, ¿se trata de una bifurcación homoclínica de tipo II? Realmente no entiendo esto.

Gracias por ayudar.

Answer 1

Localización numérica de una órbita homoclínica : Genéricamente, no está garantizado que una órbita periódica que bifurca a partir de una bifurcación de Hopf colisione con una silla de montar para formar una órbita homoclínica. En su sistema que puede ser el caso.

Si se continúa la órbita periódica que se bifurca a partir del punto de Hopf (usando XPPAUT/Matcont) y se mide el período, en algún momento el período puede ir al infinito. Eso significa que la órbita periódica pasa mucho tiempo cerca de un conjunto invariante antes de volver. Si hay una silla de montar cerca, puedes estar seguro de que hay una órbita homoclínica cerca.

Una vez allí, un método numérico más riguroso para localizar una órbita homoclínica a una silla hiperbólica es a través del método de tiro/homotopía. Consulte aquí un tutorial detallado sobre Matcont: http://www.staff.science.uu.nl/%7Ekouzn101/NBA/LAB5.pdf

Tipos de bifurcaciones homoclínicas : Creo que estás confundiendo las homoclínicas de tipo 1 y 2 con las bifurcaciones de Hopf supercríticas/subcríticas. Como he mencionado antes, los ciclos estables que forman las bifurcaciones de Hopf supercríticas no se convierten genéricamente en órbitas homoclínicas de tipo 1 o 2. Este puede ocurrir en un sistema, como en su caso.

Supongo que con el tipo 1 y el tipo 2 te refieres al retorno del colector estable, que puede darse en una de las dos direcciones en un sistema plano como el tuyo. En tu caso vuelve de tal manera que la otra dirección inestable es gratis , es decir, que si empiezas en la dirección inestable que no pertenece a la homoclínica, te escapas (lado derecho de la silla de montar en tu caso).