Estoy aprendiendo acerca de la solución de p.d.e.s por el método de las características en el momento. Me dieron un "algoritmo" para resolver estos problemas, pero quiero saber también lo que está pasando, cómo funciona y qué se está haciendo intuitivamente/física/gráficamente. Sería genial si alguien pudiera explicar o proporcionar un buen enlace A material de referencia. Gracias.
Respuestas
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La idea básica es que buscamos paramétrica de curvas a lo largo de la cual el PDE, que nos dice cómo los cambios de la función. Supongamos que usted tiene una suave curva paramétrica en el $x-y$ plano: $x = X(t)$, $y = Y(t)$. Considerar cómo una función suave $u(x,y)$ mientras que usted se mueve a lo largo de la curva. La regla de la cadena, dice $$\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dX}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dY}{dt}$$ Now this looks rather like the left side of a first-order PDE $$a(x,y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x,y) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x,y)$$ De hecho, si usted puede encontrar $X(t)$ $Y(t)$ tal que $\frac{dX}{dt} = a(X(t),Y(t))$$\frac{dY}{dt} = b(X(t),Y(t))$, esto indica que a lo largo de la curva $\frac{du}{dt} = c(X(t), Y(t))$, por lo que si usted sabe $u(X(0), Y(0))$ usted puede conseguir $$u(X(s),Y(s)) = u(X(0), Y(0)) + \int_0^s c(X(t),Y(t))\ dt$$
Ahora, para cualquier punto de $(x_1, y_1)$ en el avión, suponga que desea encontrar $u(x_1, y_1)$ donde $u(x,y)$ satisface la PDE $a(x,y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x,y) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x,y)$, además de algunas condiciones de frontera. A continuación, usted quiere encontrar una curva de $x = X(t)$, $y = Y(t)$ satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias $\frac{dX}{dt} = a(X(t),Y(t))$ $\frac{dY}{dt} = b(X(t),Y(t))$ que pasa por el punto dado $(x_1, y_1)$, siga la curva a algunos $(x_0, y_0)$ donde su condición de contorno indica el valor de $u$, y, a continuación, usted puede conseguir $u(x_1, y_1)$ por una integral como el anterior.
john.abraham
Puntos
427
Esta es una interfaz intuitiva que está diseñado para ser tan simple como sea posible.
Digamos que usted está midiendo algún sistema para dos variables $x$$t$, y descubre que puede describir el sistema por $u_t+a(x,t)u_x=0$.
Bien, pero ¿qué pasa si $x$ $t$ sólo superficialmente se parecen a las variables independientes, pero en realidad $x$ es una función de $t$?
Si fuera así, entonces $$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+x'(t)u_x$$ which means that if we can find a function $x(t)$ with the property that $x'(t)=a(x,t)$, then $u(x(t),t)$ would have the property that $$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+a(x,t)u_x$$ que es exactamente el tipo de función que estamos buscando.
Así que si realmente es el caso de que nuestra variable medida $x$, en realidad es una función de la variable subyacente $t$, sólo tenemos que encontrar una función $x(t)$ tal que $x'(t)=a(x(t),t)$ $x(0)=x_0$ y resolver mucho más fácil, educación a distancia $$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=0$$ and then $u(x(t),t)$ satisface la PDE que hemos empezado.
Por lo general, estos problemas vienen con algunas de las condiciones de contorno como $u(x,0)=\phi(x)$, por lo que podemos resolver nuestras fácil ODE: $$u(x(t),t)=C$$
Si establecemos $C=\phi(x_0)$ vemos que $u(x(t),t)=u(x(0),0)=u(x_0,0)=\phi(x_0)$ ($u$ es constante wrt $t$)
Por lo $$u(x(t),t)=\phi(x_0)$$
es una solución para el PDE, siempre podemos encontrar una $x(t)$ tal que $x'(t)=a(x(t),t)$$x(0)=x_0$, lo que podemos. Cuando encuentres $x(t)$, se puede resolver para $x_0$ y sustituto para llegar a una solución de la función consta de $x$'s y $t$'s, que luego se puede diferenciar para comprobar que cumple con los inhibidores de la PDE.
