Confusión probabilística multinomial

Question

Las probabilidades son $0.4$ , $0.5$ y $0.1$ que, en una conducción urbana, un determinado coche compacto tendrá una media inferior a $22$ millas por galón, de $22$ a $26$ millas por galón, o más de $26$ millas por galón. Encuentra la probabilidad de que entre $10$ tales coches probados, $3$ será un promedio $22$ millas por galón, $6$ será un promedio $22$ a $26$ millas por galón, y $1$ tendrá una media de más de $26$ millas por galón.

Sé que deberíamos multiplicar las probabilidades, $(0.5)^{6}$ y tal, a los coches que estamos eligiendo, pero cómo elegir exactamente los coches estoy confundido.

EDIT: No quiero la fórmula porque ya sé que existe. Quiero un argumento que cuente lo que pide la pregunta.

¿Alguien puede darme una pista sobre cómo empezar? Estoy escribiendo cosas en un papel, pero no me lleva a ninguna parte.

Answer 1

Tenemos $10$ coches. Hacemos funcionar cada coche y probamos su mpg. Cada coche cae en una ranura con una cierta probabilidad, y por lo tanto ocupa un dígito de $4444555551$ .

Así que después de $10$ se han probado los coches, tenemos una cadena como $1555414554$ .

El número de las cadenas de esta forma viene dado por:

$$\dfrac{10!}{6!3!1!}$$

y la probabilidad de que ocurra cada dígito es:

$$(0.4)^3, (0.5)^6, (0.1)^1$$

Answer 2

Es sólo una extensión de la distribución binomial.

En $n$ ensayos, se produce un evento $x$ veces con probabilidad $p$ , $y$ veces con probabilidad $q$ ,
con $x+y=n, p+q=1$ ,

y también podríamos escribir el coeficiente binomial $\dbinom{n}{x}$ como una permutación, $\dfrac{n!}{x!y!}$ , dando lugar a

$\dfrac{n!}{x!y!}\cdot p^x\cdot q^y$

Extiéndelo a, digamos, $3$ posibilidades para cada evento $x,y,z$ con probabilidades $p,q,r$ respectivamente, $x+y+z=n, p+q+r=1$ y análogamente obtenemos

$\dfrac{n!}{x!y!z!}\cdot p^x\cdot q^y\cdot r^z$

Answer 3

Puedes contar en tres etapas y luego multiplicar las cuentas para obtener un total.

Primera etapa: ¿De cuántas maneras podrías elegir $3$ coches con menos de $22$ mpg de un total de $10$ ? En $\displaystyle \binom{10}{3}$ diferentes maneras. Después de esto hay $7$ coches a la izquierda.

Segunda etapa: ¿De cuántas maneras podrías elegir $6$ coches con mpg en $[22, 26]$ de un total de $7$ ? En $\displaystyle \binom{7}{6}$ diferentes maneras. Después de esto hay $1$ coche a la izquierda.

Tercera etapa: ¿De cuántas maneras podrías elegir $1$ coche con más de $26$ mpg de un total de $1$ ? En $1$ manera.

Ahora, el recuento total es

$$\binom{10}{3}\binom{7}{6}(1) = \binom{10}{3}\binom{7}{6},$$

que es igual a la notación multinomial más elegante

$$\binom{10}{3,6,1} = \frac{10!}{3!6!1!}.$$

En este caso, la pregunta "¿De cuántas maneras podrías elegir $x$ coches con determinadas propiedades $P$ de un total de $y$ ?" podría leerse como "¿De cuántas maneras podría ocurrir que haya $x$ coches con determinadas propiedades $P$ de un total de $y$ ?". La propiedad $P$ hace referencia a la gama de mpg.

Answer 4

La distribución multinomial trivariada se parece bastante a una distribución binomial.

$$\mathsf P(X{=}x, Y{=}y, Z{=}n{-}x{-}y) = \dfrac{n!\;{p_{\!\lower{0.5ex}X}}^x\,{p_{\!\lower{0.5ex}Y}}^y\,{p_{\!\lower{0.5ex}Z}}^{n-x-y}}{x!\, y!\,(n-x-y)!}$$

Donde $X,Y,Z$ son las variables aleatorias, ${p_{\!\lower{0.5ex}X}}, {p_{\!\lower{0.5ex}Y}}, {p_{\!\lower{0.5ex}Z}}$ son sus probabilidades, $n$ es el número de ensayos, y $(x,y)$ son los valores realizados dentro del soporte de enteros: $\{0\leq x\leq n\}{\times}\{ 0\leq y\leq n-x\}$

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Lo que se cuenta son formas de obtener los recuentos favorecidos de $x$ categoría 1, $y$ categoría 2, y $n-x-y$ coches de categoría 3 de todas las formas posibles de hacerlo.   Esto sigue el mismo principio que para la Distribución Binomial.

Hay una probabilidad ${p_{\!\lower{0.5ex}X}}^x\,{p_{\!\lower{0.5ex}Y}}^y\,{p_{\!\lower{0.5ex}Z}}^{n-x-y}$ de obtener estos resultados en una disposición particular, y hay $\dfrac{n!}{x!\, y!\,(n-x-y)!}$ distintas permutaciones de esa disposición.

Answer 5

La probabilidad de tener $m$ de la $n$ los coches de la primera categoría es

$${n \choose m} 0.4^m 0.6^{n-m}.$$

Esto es sólo la fórmula de la distribución binomial.

Con la condición de estar en una de las dos segundas categorías, la probabilidad de estar en la segunda categoría es $\frac{0.5}{0.6}$ y la probabilidad de estar en la tercera categoría es $\frac{0.1}{0.6}$ . Por tanto, utilizando de nuevo la distribución binomial, la probabilidad de $k$ de los restantes $n-m$ que los coches estén en la segunda categoría es

$${n-m \choose k} \frac{0.5^k 0.1^{n-m-k}}{0.6^{n-m}}.$$

Como hemos condicionado, ahora sólo hay que multiplicarlas y simplificarlas, obteniendo la fórmula de distribución "trinomio":

$${n \choose m} {n-m \choose k} 0.4^m 0.5^k 0.1^{n-m-k}.$$

Se puede demostrar la fórmula multinomial general mediante una versión inductiva de este argumento. También se pueden simplificar los productos de los coeficientes binomiales: por ejemplo aquí ${n \choose m} {n-m \choose k} = \frac{n!}{m! (n-m)!} \frac{(n-m)!}{k! (n-m-k!)}=\frac{n!}{m! k! (n-m-k)!}$ . No es difícil ver algebraicamente que esta cancelación siempre se producirá. También se puede ver esto mediante un argumento combinatorio: el número de formas de tomar $n$ cosas y poner $m$ de ellos en un grupo, $k$ en otro, y $n-m-k$ en un tercio es el número de formas de ordenar todo $n$ cosas dividido por el número de maneras de reordenar las cosas dentro de los grupos.